СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ функции, разложение функции в ряд по собственным функциям некоторого линейного оператора (напр., конечно-разностного, дифференциального или интегрального), действующего в функциональном пространстве, или одно из возможных обобщений такого разложения. Частным случаем С. р. является разложение функции, заданной на конечном отрезке, в Фурье ряд (т. е. гармонич. анализ колебаний), а также разложения по другим известным полным системам функций. В случае линейного оператора А, имеющего непрерывный спектр, собственные функции, понимаемые в обычном смысле, не существуют; тем не менее и здесь весьма часто удаётся определить эти функции (но только они уже не будут являться элементами того функционального пространства, в к-ром действует оператор Л) и задать С. р. широкого класса функций как разложение в интеграл по системе функций, зависящей от непрерывно изменяющегося аргумента (пример С. р. этого типа - разложение в Фурье интеграл). Для несамосопряжённых операторов А наряду с собственными функциями приходится рассматривать ещё и цепочки функций, присоединённых к собственным функциям; однако и для таких операторов в функциональных пространствах во многих случаях удаётся доказать теорему о полноте системы всех собственных и присоединённых функций и, исходя отсюда, получить С. р. широкого класса функций по всевозможным собственным и присоединённым функциям оператора А.
С. р. функций широко используются для решения различных конечно-разностных, дифференциальных и интегральных уравнений и находят многочисленные приложения в задачах классической механики (особенно теории колебаний), электродинамики, квантовой механики, теории связи, теории автоматического управления и других разделах математической физики и прикладной математики.
Лит.: Березанский Ю. M., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. 1 - 2, M., 1960 - 61; H а и м а р к M. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., M., 1969; Л е в и т а н Б. M., С а р ГОН н И. С., Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы), M., 1970.
A. M. Яглом.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ случайной функции, разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специ... смотреть
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ линейного оператора, представление линейного оператора А в виде линейной комбинации операторов проектирования на взаимно пер... смотреть
линейного оператора - представление оператора в виде интеграла по спектральной мере( спектральной функции). Для любого самосопряженного оператора Тв ... смотреть
случайной функции - 1) разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций ... смотреть
decomposizione spettrale
décomposition spectrale
spectral decomposition
спектра́льне розклада́ння
décomposition spectrale
spectral decomposition
спектральны расклад
Спектральное разложение функции, разложение функции в ряд по собственным функциям некоторого линейного оператора (например, конечно-разностного, диффер... смотреть
Спектральное разложение линейного оператора, представление линейного оператора А в виде линейной комбинации операторов проектирования на взаимно перпен... смотреть
Спектральное разложение случайной функции, разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальн... смотреть