СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ случайной функции, разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой взаимно некоррелированные случайные величины. Наиболее известный класс С. р. случайных функций - представления стационарных случайных процессов X (t) в виде интеграла Фурье - Стилтьеса

где Z() - случайная функция с некоррелированными приращениями. Существование такого С. р. показывает, что стационарный случайный процесс всегда можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонич. колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. С. р. аналогичного вида, но с заменой гармо нич. колебаний га-мерными плоскими волнами, имеет место и для однородных случайных полей в га-мерном пространстве. Другой тип С. р. случайных функций - это разложение случайного процесса X(t). заданного на конечном отрезке оси (или, более общо, случайной функции X(t), заданной на ограниченной области n-мерного пространства), в ряд вида

где _k(t) и _k - собственные функции и собственные значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром, равным корреляционной функции случайного процесса (или функции) Х(t), a Z_k, k = 1,2,...,- последовательность попарно некоррелированных случайных величин единичной дисперсии. С. р. специального вида имеют место также для однородных и изотропных случайных полей в евклидовых пространствах и для однородных полей на пространствах с группой преобразований, отличных от евклидова пространства.

Лит.: Я г л ом A. M., Спектральные представления для различных классов случайных функций, в кн.: Труды 4-го Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 250-73; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, M., 1971. А.М.Яглом.