СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, раздел математич. статистики, посвящённый методам обработки и использования статистич. данных, касающихся случайных процессов (т. е. функций X(t) времени t, определяемых с помощью нек-рого испытания и при разных испытаниях могущих

в зависимости от случая принимать различные значения). Значение x(t) случайного процесса X(t), получаемое в ходе одного испытания, наз. реализацией (иначе - наблюдённым значением, выборочным значением или траекторией) процесса X(t); статистич. данные о X(t), используемые при статистич. анализе этого процесса, обычно представляют собой сведения о значениях одной или неск. реализаций x(t) в течение опреде^ ленного промежутка времени или же о значениях каких-либо величин, связанных с процессом X(t) (напр., о наблюдённых значениях процесса Y(t), являющегося суммой X(t) и нек-рого "шума" N(t), созданного внешними помехами и ошибками измерения значений x(t)). Весьма важный с точки зрения приложений класс задач С. а. с. п. представляют собой задачи обнаружения сигнала на фоне шума, играющие большую роль при радиолокации. С математич. точки зрения эти задачи сводятся к статистической проверке гипотез: здесь по наблюдённым значениям нек-рой функции требуется заключить, справедлива ли гипотеза о том, что функция эта является реализацией суммы шума N(t) и интересующего наблюдателя сигнала X(t), чти же справедлива гипотеза о том, что она является реализацией одного лишь шума N(t).- В случаях, когда форма сигнала X(t) не является полностью известной, задачи обнаружения часто включают в себя и задачи статистической оценки неизвестных параметров сигнала; так, напр., в задачах радиолокации очень важна задача об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта, породившего этот сигнал. Задачи статистич. оценки параметров возникают и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса X(t) в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то параметров распределения вероятноегей случайных величин X(t) или же, напр., оценить значение в фиксированный момент времени t = t₁ самого процесса X(t) (в предположении, что t₁ лежит зл пределами интервала наблюдений за этим процессом) или значение y(t₁) какого-либо вспомогат. процесса Y(t). статистически связанного с X(t) (см. Случайных процессов прогнозирование). Наконец, ряд задач С. а. с. п. относится к числу задач на непарачетрические методы статистики; так обстоит дело, в частности, когда по наблюдениям за течением процесса X(t) требуется оценить нек-рые функции, характеризующие распределения вероятностей значений этого процесса (напр., плотность вероятности величины Х(t), или корреляционную функцию EX(t)X(s) процесса X(t), или, в случае стационарного случайного процесса X(t), его спектральную плотность f()).

При решении задач С. а. с. п. всегда требуется принять те или иные специальные предположения о статистнч. структуре процесса X(t), т. е. как-то ограничить класс рассматриваемых случайных процессов. Очень ценным с точки зрения С. а. с. п. является допущение о том, что рассматриваемый процесс X(t) является стационарным случайным процессом; при этом допущении, зная значения единственной реализации x(t) в течение промежутка времени 0 <= t <= T, можно уже получить целый ряд статистич. выводов о вероятностных характеристиках процесса Х(t). В частности, среднеарифметнч. значение

в случае стационарного случайного процесса X(t) при весьма широких условиях является состоятельной оценкой матема-тич. ожидания EX(t) = т (т. е. XT сходится при Т-> бескон. к истинному значению оцениваемой величины т); аналогично этому выборочная корреляционная функция

где >0, при широких условиях является состоятельной оценкой корреляционной функции

B() = EX(t) X (t + ).

Однако Фурье преобразование функции В*_Т()- так называемая периодограмма I_T () процесса X(t) - уже не представляет собой состоятельной оценки спектральной плотности f(), являющейся преобразованием Фурье функции В(); при больших значениях T периодограмма 1_Т () ведёт себя крайне нерегулярно и при T -> бескон. она не стремится ни к какому пределу. Поэтому С. а. с. п. включает в себя ряд специальных приёмов построения состоятельных оценок спектральной плотности f() по наблюдённым значениям одной реализации стационарного процесса X(t), большинство из к-рых основано на использовании сглаживания периодограммы процесса по сравнительно узкой области частот .

При исследовании статистич. свойств оценок вероятностных характеристик стационарных случайных процессов очень полезными оказываются дополнительные допущения о природе X(t) (напр., допущение о том, что все конечномерные распределения значений процесса X(t) являются нормальными распределениями вероятностей). Большое развитие получили также исследования по С. а. с. п., в к-рых предполагается, что изучаемый процесс X(t) является марковским процессом того или иного типа, или компонентой многомерного марковского процесса, или компонентой многомерного процесса, удовлетворяющего определённой системе стохастических дифференциальных уравнений.

Лит.: Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, игр. с англ.,в. 1 - 2, M., 1971 -72; Хеннан О., Анализ временных рядов, пер. с англ., M., 1964; его же, Многомерные временные ряды, пер. с англ., M., 1974; Лчпцер Р. Ш., Ширяев A. H., Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы), M., 1974.

A. M. Яглом.