СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, численный метод решения математич. задач, при к-ром искомые величины представляют вероятностными характеристиками к.-л. случайного явления, это явление моделируется, после чего нужные характеристики приближённо определяют путём статистической обработки "наблюдений" модели. Напр., требуется рассчитать потоки тепла в нагреваемой тонкой металлич. пластине, на краях к-рой поддерживается нулевая темп-pa. Распределение тепла описывается тем же уравнением, что и расплывание пятна краски в слое жидкости (см. Теплопроводность, Диффузия). Поэтому моделируют плоское броуновское движение частиц "краски" по пластине, следя за их положениями в моменты k, k = 0, 1, 2, ... Приближённо принимают, что за малый интервал  частица перемещается на шаг h равновероятно во всех направлениях. Каждый раз направление выбирается случайным образом, независимо от всего предыдущего. Соотношение между  и h определяется коэффициентом теплопроводности. Движение начинается в источнике тепла и кончается при первом достижении края (наблюдается налипание "краски" на край). Поток Q(C) тепла через участок С границы измеряется количеством налипшей краски. При общем количестве N частиц согласно больших чисел закону такая оценка даёт случайную относительную ошибку порядка 1/корень N (и система-тич. ошибку порядка h из-за дискретности выбранной модели).

Искомую величину представляют математическим ожиданием числовой функции f от случайного исхода  явления: Ef () = интеграл f()dP, . е. интегралом по вероятностной мере P (см. Мера множества‘). На оценку Ef() = [f(₁)) + +... + f (_N)]/N, где ₁, ..., _N - смоделированные исходы, можно смотреть как на квадратурную формулу для указанного интеграла со случайными узлами сой и случайной погрешностью R_N. Обычно принимают |R_N| <=3 * кореньDfIN, считая большую погрешность пренебрежимо маловероятной; дисперсия Df может быть оценена в ходе наблюдений (см. Ошибок теория).

В разобранном выше примере f() = = 1, когда траектория кончается на С; иначе f() = О. Дисперсия Df = = [1-Q(C)]Q(C) <= 1/4. Интеграл берётся по пространству ломаных со звеньями постоянной длины; он может быть выражен через кратные интегралы.

Проведение каждого "эксперимента" распадается на две части: "розыгрыш" случайного исхода  и последующее вычисление функции f(). Когда пространство всех исходов и вероятностная мера P слишком сложны, розыгрыш проводится последовательно в несколько этапов (см. пример). Случайный выбор на каждом этапе проводится с помощью случайных чисел, напр, генерируемых к.-л. физич. датчиком; употребительна также их арифметич. имитация - псевдослучайные числа (см. Случайные и псевдослучайные числа). Аналогичные процедуры случайного выбора используются в математич. статистике и теории игр.

С. м. широко применяется для решения на ЭВМ интегральных уравнений, напр, при исследовании больших систем. Они удобны своей универсальностью, как правило, не требуют большого объёма памяти. Недостаток - большие случайные погрешности, слишком медленно убывающие при увеличении числа экспериментов. Поэтому разработаны приёмы преобразования моделей, позволяющие понижать разброс наблюдаемых величин и объём модельного эксперимента.

Лит.: Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), M., 1962; Ермаков С. M., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, M., 1971. H. H. Ченцов.