СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, важный спец. класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X(t) наз. стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, напр., распределение вероятностей величины X(O при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин Х(t₁) и X(t₂) зависит только от продолжительности промежутка времени t₂ - t₂, т. е. распределения пар величин {X(t₁), X(t₂)} и {X(t₁ + s}, X(t₂+ s)} одинаковы при любых t₁, t₂ и s и т. д.).

Схема С. с. п. с хорошим приближением описывает многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями. Так, напр., пульсации силы тока или напряжения в электрич. цепи (электрич. "шум") можно рассматривать как С. с. п., если цепь эта находится в стационарном режиме, т. е. если все её макроскопич. характеристики и все условия, вызывающие протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в точке турбулентного течения представляют собой С. с. п., если не меняются общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является установившимся), и т. д. Эти и другие примеры С. с. п., встречающиеся в физике (в частности, гео- и астрофизике), механике и технике, стимулировали развитие исследований в области С. с. п.; при этом существенными оказались также и нек-рые обобщения понятия С. с. п. (напр., понятия случайного процесса со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого С. с. п. и однородного случайного поля).

В математяч. теории С. с. п. осн. роль играют моменты распределений вероятностей значений процесса X(t). являющиеся простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны моменты первых двух порядков: среднее значение С. с. п. EX(t) = т - математич. ожидание случайной величины X(t) и корреляционная функция С. с. п. ЕХ(t₁)Х (t₂) = B(t₁-t₂)-математич. ожидание произведения X(t₁)X(t₂) (просто выражающееся через дисперсию величин Х(t₁) и коэффициент корреляции между X(t₁) и Х(t₂); см. Корреляция). Во многих математич. исследованиях, посвящённых С. с. п., вообще изучаются только те их свойства, к-рые полностью определяются одними лишь характеристиками т и В() (т. н. корреляционная теория С. с. п.). В этой связи случайные процессы X(t), имеющие постоянное среднее значение EX(t) = т и корреляционную функцию В(t₂, t₁) = = ЕХ(t₁) Х(t₂), зависящую только от t₂ - t₁, часто наз. С. с. п. в широком смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики к-рых не меняются с течением времени, в таком случае наз. С. с. п. в узком смысле).

Большое место в математич. теории С. с. п. занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса X(O и его корреляционной функции B(t₂ - t₁) - B(t) в интеграл Фурье, или Фурье-Стилтьеса (см. Фурье интеграл). Осн. роль при этом играет теорема Хинчина, согласно к-рой корреляционная функция С. с. п. X(t) всегда может быть представлена в виде

где F() - монотонно неубывающая функция  (а интеграл справа - это интеграл Стилтьеса); если же В() достаточно быстро убывает при ||->бескон. (как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X(t) понимается на самом деле разность X(t) - т), то интеграл в правой части (1) обращается в обычный интеграл Фурье:

где f() = F‘() - неотрицат. функция. Функция F() наз. спектральной функцией С. с. п. X(t), а функция f() [в случаях, когда имеет место равенство (2)] - его спектральной плотностью. Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X(t) допускает спектральное разложение вида

где Z()- случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой С. с. п. X(t) как наложение некоррелированных друг с другом гармонич. колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная функция F() и спектральная плотность f() определяют распределение средней энергии входящих в состав X(t) гармонич. колебаний по спектру частот  (в связи с чем в прикладных исследованиях функция f() часто наз. также энергетич. спектром или спектром мощности С. с. п. X(t)

Выделение понятия С. с. п. и получение первых относящихся к нему математич. результатов являются заслугой E. E. Слуцкого и относятся к кон. 20-х и нач. 30-х гг. 20 в. В дальнейшем важные работы по теории С. с. п. были выполнены А. Я. Хинчиным, A. H. Колмогоровым, Г. Крамером, H. Винером и др.

Лит.: Слуцкий E. E., Избр. тр., M., 1960; X и н ч и н А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, "Успехи математических наук", 1938, в. 5, с. 42 - 51; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, M., 1963; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы), 2 изд., M., 1973; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1,М., 1971; X е н н а н Э., Многомерные временные ряды, пер. с англ., M., 1974.

A. M. Яглом.