УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ, относительный экстремум, экстремум функции f(x₁,...,x_n+m) от п + т переменных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т ур-ниям связи (условиям):

ф_k(x₁, . . . , x_n+m) =0 , 1<=k<

=m (*) (см. Экстремум). Точнее, функция f имеет У. э. в точке М, координаты к-рой удовлетворяют ур-ниям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках нек-рой окрестности точки М, координаты к-рых удовлетворяют ур-ниям (*). Геометрически в простейшем случае У. э. функции f(x, у) при условии ф(х, у) = 0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f(x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую ф(х, у) = 0. В точке У. э. линия ф(х, у) - 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня [см. Уровня линии (поверхности)] функции f(x, у). При нек-рых дополнит. условиях на ур-ния связи (*) разыскание У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x_n+1,..., x_п+т из ур-ния (*) через x₁,..., х_п и подставив эти выражения в функцию f. Др. метод решения - Лагранжа метод множителей.

Задачи на У. э. возникают во мн. вопросах геометрии (напр., разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т. д.

Мн. задачи вариационного исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии, что др. функционалы имеют заданное значение (см., напр., Изопериметрические задачи) или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функций, удовлетворяющих нек-рым ур-ниям связи, и т. д. Решение таких задач также проводится методом множителей Лагранжа. См. также Линейное программирование, Математическое программирование и лит. при этих статьях.