ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ

ФИГУРЫ РАВНОВЕСИЯ, геометрич. конфигурации, к-рые может принять жидкая масса, находясь в положении относительного равновесия (под относит. равновесием обычно понимают установившееся движение жидкости, при к-ром вся масса жидкости движется таким образом, что расстояния между её частицами остаются постоянными). Рассматривают движение жидкости либо только в собственном гравитационном поле, либо под действием этого поля и, сверх того, притяжения др. внешних тел. В теории Ф. р. изучаются две основные, тесно связанные между собой проблемы: существование тех или иных Ф. р. вращающихся жидкостей и устойчивость Ф. р., подверженных влиянию малых возмущений.

Теория Ф. р. зародилась в 17 в., однако и во 2-й пол. 20 в. она далека от своего завершения. Наиболее полные результаты принадлежат А. М. Ляпунову, к-рый впервые построил точную математич. теорию Ф. р. вращающейся жидкости (однородной и неоднородной) и получил ряд результатов в теории устойчивости простейших Ф. р. (т. н. эллипсоидов Маклорена и Якоби), и А. Пуанкаре, доказавшему, в частности, что относительное равновесие однородной жидкости возможно только в том случае, когда угловая скорость вращения со меньше

однородную несжимаемую покоящуюся жидкую массу не действуют никакие внешние силы, то её единственной Ф. р. является сфера. Ф. р. однородной жидкости во всех случаях симметричны относительно плоскости, проходящей через её центр инерции перпендикулярно оси вращения, а всякая прямая, параллельная оси вращения, пересекает поверхность жидкости не более чем в двух точках. Наиболее изученными Ф. р. однородной несжимаемой вращающейся жидкости являются эллипсоидальные Ф. р,: эллипсоиды вращения и трёхосные эллипсоиды. Эти Ф. р. образуют семейства поверхностей (линейные серии), непрерывно зависящие от величины угловой скорости w, изменяющейся между нулём и величиной, меньшей w. Эллипсоидальные Ф. р. математич. описываются алгебраическими поверхностями 2-го порядка. Приближённое решение проблемы существования Ф. р., описываемых алгеб-раич. поверхностями более высокого порядка, дал Пуанкаре, а строгое решение- Ляпунов, доказавший, что существуют Ф. р., близкие к эллипсоидальным, описываемые алгебраич. поверхностями порядка, большего 2. Т. о. была решена задача об устойчивости эллипсоидальных фигур при малых деформациях конфигурации.

Большое прикладное значение имеет теория Ф. р. жидкости, испытывающей притяжение внешних сил. В статической модели, когда покоящаяся жидкость притягивается достаточно удалённой материальной точкой, доказано существование вытянутых в направлении притягивающей точки эллипсоидальных Ф. р. (приливных эллипсоидов). Наибольшие приложения в астрономии получила проблема Роша и её обобщения, устанавливающая существование эллипсоидальных (или близких к ним) Ф. р. однородной вращающейся жидкой массы, к-рая притягивается материальной точкой, совершающей круговые движения ок. центра масс жидкости с той же угловой скоростью. Эти механич. модели положены в основу теории приливной эволюции, теории форм звёзд, составляющих двойную систему, теории фигур планет. Приближённая теория устойчивости Ф. р. небесных тел разработана Дж. Даренном и Дж. Джинсом.

Лит.: Субботин М. Ф., Курс небесной механики, т. 3, М. - Л., 1949; Чандрасекхар С., Эллипсоидальные фигуры равновесия, пер. с англ., М., 1973.

Е. А. Гребеников.