ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ, часть совр. математики, главной задачей к-рой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классич. анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классич. задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность матем. понятий и проложить новые пути исследования.

Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием совр. теоретич. физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т. п. В свою очередь эти фи-зич. теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.

1. Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматич. геометрии привело к возникновению в работах М. Фрешв и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для к-рых установлено тем или иным способом понятие близости.

Среди абстрактных пространств для матем. анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами к-рых являются функции - откуда и назв. <Ф. а>). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства /₂ и L₂(a, b) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства If и L_p(a, b), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Риса, амер. математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.

В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных то-пологич. пространств; Н. Н. Боголюбова  (1936) по инвариантным мерам в ди-намич. системах; Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классич. матем. анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.

Для совр. этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретич. физикой, а также с различными разделами классич. анализа и алгебры, напр, теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т. п.

2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологич. пространства, т. е. линейные пространства X над полем комплексных чисел С (или действительных чисел IR), к-рые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда Б линейном пространстве X можно ввести норму (длину) векторов, свойства к-рой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве.

кое, что всегда (х, х)>=0 и(х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

том Л). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства наз., соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрич. пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства. Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в к-рых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами к-рых являются классы комплексно-значных (т. е. со значениями в С) функций x(t), определённых на нек-ром множестве Т. г. обычными алгебоаич. опера-

Xn(t) равномерно финитны [т. е. (а,b) не зависит от ге] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x(t).

Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для 1₂: векторы е, = {0,...,0, 1, 0,...} линейно независимы.

С геом. точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н, свойства к-рых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два век-

этому факту большое количество геом. конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н,

где они часто приобретают аналитич. характер. Так, напр., обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированно-го базиса - последовательности век-

ляется изоморфизмом, т. е. линейной изометрией, так что последнее пространство в этом отношении универсально.

Подобные геом. вопросы резко усложняются при переходе от гильбертовых к банаховым и тем более линейным топологическим пространствам в связи с невозможностью ортогонального проектирования в них. Напр., "проблема базиса". Векторы ej образуют базис в l_Рв смысле справедливости разложения (1). Базисы построены в большинстве известных примеров банаховых пространств, однако проблема (С. Банаха - Ю. Ша у дера) существования базиса в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 была решена отрицательно. В Ф. а. важное место занимает подобная "геом> тематика, посвящённая выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, напр, выпуклых, компактных и т. д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно li) представителей в том или ином классе пространств и т. п.

Большой раздел Ф. а. посвящён детальному изучению конкретных пространств, т. к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример - теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство

страняется на все производные ?)^а до порядка <2. В этих теоремах выясняется вопрос о характере гладкости элементов пространства, получаемых процедурой пополнения.

В связи с запросами матем. физики в Ф. а. возникло большое число конкретных пространств, строящихся из известных ранее при помощи определённых конструкций. Наиболее важные из них:

гильбертовых пространств Н, - конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1);

факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве X задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (х, х) = 0 для х ф 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения X относительно (...) после предварительного отождествления с 0 векторов х, для к-рых (х, х) =0;

линейные отображения обычно наз. л и-нейными операторами. В случае конечномерных X, У структура линейного оператора простая: если зафиксировать базисы в X и У, то

где.Г!,..., Хп и (Ax)i,..., (Ах)п - координаты векторов л: и Ах соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологич. пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L₂(a,b) в него же оператор

является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).

Непрерывный оператор А:Х-"У, где X,Y - банаховы пространства, характеризуется тем, что

ным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геом. вопросов для множеств из X‘, напр, установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейн а-М и л ь м а н а).

Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, напр. (lp)‘, р > 1. состоит из (функций вида

Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классич. анализа. Так, напр., при фиксированных to и т на пространстве

функциями (распределениями). Обобщенные функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D (IR) заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки прост-

оертово пространство, а Ф. - линейное то-пологич. (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, напр.

Ф = W₂(Т).

Дифференциальный оператор D, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L2[a, 6] из пространства С1[а, b], снабжённого нормой \\x\\ =

гих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.

4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнение  вида Сх=у, где С-нек-рый оператор, у принадлежитY - заданый, а х принадлежит X - искомый вектор. Напр., если X=Y=L2 (a, b) C=E-A, где A оператор из (2), а E - тождественныи оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С - дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т. п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из X в множество из У, замыкание к-рого компактно [таков, напр., оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения х - Ах = у, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).

В разнообразных задачах матем. физики возникает т. н. задача на собственные значения: для нек-рого оператора А : X -> X требуется выяснить возможность нахождения решения ф не = 0 (собственного вектора) уравнения Аф = Хф при нек-ром X принадлеж. С (соответствующем собственном значении). Действие А на собственный вектор особенно просто - оно сводится к умножению на скаляр. Поэтому, если, напр., собственные векторы оператора А образуют базис ej, j принадлеж. Z, пространства X, т. е. имеет место разложение типа (1), то действие А становится особенно наглядным:

где Х_;-- собственное значение, отвечающее ej. Для конечномерного X вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в X нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор Sp А собственных значений в этом случае наз. спектром А. Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K(t, s) = K(s, t) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L2[a, b]

гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, напр., вопросы полноты собственных н присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, напр., для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.

Пусть Н - гильбертово пространство. Ограниченный оператор А: Н -> Н наз. с а-мосопряжённым, если (Ах, у)= = (д:, Ау) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н м-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А‘, другими словами, имеют место разложения:

ядерно, причём А переводит Ф в Ф‘ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по нек-рой скалярной мере, а Е(Х) теперь "проектирует" Ф в Ф‘, давая векторы из Ф‘, к-рые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением X. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторо_в (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Напр., они верны для унитарных операторов U -таких ограниченных операторов, к-рые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр Sp U расположен на окружности |z| = 1, вдоль к-рой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектралъныq анализ линейных операторов.

5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение прост--ранства в С (или в IR) наз. функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т. д. аналогично соответствующим понятиям классич. анализа. Выделение из отображения квадратичного и т, д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.

Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка х наз. неподвижной для отображения F, если Fx = х). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление - т. н. точки ветвления (решений).

При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологич. методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т. п. Топологич. методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шауде-ром, франц. математиком Ж. Лере, сов. математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.

6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения к-рых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В кон. 30-х гг. в работах япон. математика М. Нагумо, сов. математиков И. М. Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (совр. назв.- банаховы алгебры), в к-рой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём IIxyII<=IIxII IIyII). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве X (умножение в нём - последовательное применение операторов -необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, напр. С(Т) с обычным умножением, L1(IR) со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их - класс т. н. групповых алгебр (топологич. группы G), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) в качестве умножения.

смотреть умножение функций того же класса на борелевские функции, то получается представление коммутативного кольца операторов в гильбертовом пространстве. Другие более общие примеры приведены ниже.

Наиболее полно развита теория линейных представлений топологич. групп (в т. ч. конечных). Линейным представлением (топологич.) группы G наэ. гомомор-

ется представление кольца и алгеоры, в частности банаховой алгебры; здесь требуется дополнительно, чтобы линейная структура 21 соответствовала линейной структуре кольца

где А - самосопряжённый оператор (теорема Стоуна); оператор А наз. инфиннтези-мальным оператором (генераторе м) группы {Тх}. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классич. механики. Эта связь, а также приложения в ста-тистич. физике лежат в основе обширной ветви Ф. а.- эргодической теории. Связь между однопараметрич. группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы Т не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых н более_ общих пространствах и даже быть определёнными лишь для Х>0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.

Лит.: Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; К о л м о г о р о в А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; А х и е з е р Н. И., Г л а з-м а н И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; В у л и х Б. 3., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Б а-н а х С. С., Курс функвдонального анализу, Киев, 1948; Рисе Ф., Секефальви-Н а д ь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., А к и-л о в Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрей-к о П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Н а и м а р к М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Р у д и н У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; И о с и д а К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; Д а н-Ф о р д Н., Шварц Д ж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1 - 3, М., 1962 - 74; X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М&bdquo; 1962; Эдварде Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969.

Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.