ФУРЬЕ РЯД, тригонометрический ряд, служащий для разложения периодич. функции на гармонич. компоненты. Если функция f(x) имеет период 2Т, то её Ф. р. имеет вид
циенты. а зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье-Римана, Фурье-Лебега и т. д. Обычно рассматривают 2л>периодиче-ские функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
Ф. р. представляют собой простейший Класс разложений по ортогональной системе функций, а именно - по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2х, sin 1x, ..., cos nx, sin nx, ..., к-рая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (сум м ы Фурье)
так что функции f(x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций).
Для любой интегрируемой функции f(x) коэффициенты Фурье ап, при
Один из вариантов этой формулы был впервые указан франц. математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для
с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (нем. математик Э. Фишер, венг. математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна. Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Напр., если функция f(x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f(x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), тоеёФ. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f(x) непрерывна (К. Жордан). Если f(x) непрерывна и её модуль непрерыв-
мерно сходится (итал. математик У. Дини, 1880).
Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в нек-рой точке ха зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке Хо функция f(x) имеет разрыв первого рода, т. е. существуют различные пределы f(xt,-0) и f(x0+ 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке .то, то он сходится к значению 1/2{f (xо-0) + f(Xo + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодич. функции f(x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f(x).
Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. к-рых расходятся в бесконечном числе точек (нем. математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. к-рых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат веоен и для функ-
"дефекты сходимости" породили м е-тоды суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение к-рых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Напр., для любой непрерывной периодич. функции fix) сумма Ф е и е о а
лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды. М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1 -2, М., 1965.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
Тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то её Ф.... смотреть
функции f(х)по ортонормированной на промежутке ( а, b )системе функций -ряд коэффициенты к-рого определяются по формулам и наз. коэффициентами Фу... смотреть
по ортогональным многочленам- ряд вида где многочлены { Р п (х)} ортонормированы на интервале ( а, b )с весом h(х)(см. Ортогональные многочлены),а... смотреть
ряд функций f(x) относительно ортонормированной системы функций: φ1(х), φ2(x),..., φк(x),...,(1) заданных на отрезке [а, b], есть ряд где коэф. Фу... смотреть
почти периодической функции - ряд вида где - Фуръе показатели, а п - Фурье коэффициенты почти периодич. функции f(x). Ряд (*) соответствует любой... смотреть
ФУРЬЕ ряд - тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке ФУРЬЕ Шарль (1772-1837) - французский социалист. Подверг критике современный строй "цивилизации" и разработал проект плана будущего общества - строя "гармонии", в котором должны развернуться все человеческие способности. Первичной ячейкой нового общества считал "фалангу", сочетающую промышленное и сельскохозяйственное производство. Высказывал представления о будущем обществе (труд как потребность и наслаждение, уничтожение противоположности между умственным и физическим трудом и др.). Фурье считал, что сохранятся частная собственность, классы, нетрудовой доход. Новое общество утвердится, по Фурье, путем мирной пропаганды социалистических идей. Сочинения: "Теория четырех движений и всеобщих судеб" (1808), "Теория всемирного единства" (1822), "Новый хозяйственный социетарный мир" (1829). Последователями Фурье были В. Консидеран, петрашевцы и др.<br>... смотреть
- тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной наотрезке ФУРЬЕ Шарль (1772-1837) - французский социалист. Подверг критикесовременный строй ""цивилизации"" и разработал проект плана будущегообщества - строя ""гармонии"", в котором должны развернуться всечеловеческие способности. Первичной ячейкой нового общества считал""фалангу"", сочетающую промышленное и сельскохозяйственное производство.Высказывал представления о будущем обществе (труд как потребность инаслаждение, уничтожение противоположности между умственным и физическимтрудом и др.). Фурье считал, что сохранятся частная собственность, классы,нетрудовой доход. Новое общество утвердится, по Фурье, путем мирнойпропаганды социалистических идей. Сочинения: ""Теория четырех движений ивсеобщих судеб"" (1808), ""Теория всемирного единства"" (1822), ""Новыйхозяйственный социетарный мир"" (1829). Последователями Фурье были В.Консидеран, петрашевцы и др.... смотреть
тригонометрический ряд, коэф. к-рого для заданной на отрезке [-ПИ, ПИ] функции f(x) вычисляются по ф-лам Эйлера - Фурье: Частные суммы Ф. р.- важный ап... смотреть
ФУРЬЕ РЯД, тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке [ функции f(x) вычисляются по формулам Эйлера - Фурье:k=1, 2, ...Частные суммы ряда Фурье - важный аппарат приближенного представления функции f(x). Ряды Фурье получили большое применение в работах Ж. Фурье и других ученых.<br><br><br>... смотреть
ФУРЬЕ РЯД , тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке [ функции f(x) вычисляются по формулам Эйлера - Фурье:k=1,2,...Частные суммы ряда Фурье - важный аппарат приближенного представления функции f(x). Ряды Фурье получили большое применение в работах Ж. Фурье и других ученых.... смотреть
ФУРЬЕ РЯД, тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке [ функции f(x) вычисляются по формулам Эйлера - Фурье:k=1,2,...Частные суммы ряда Фурье - важный аппарат приближенного представления функции f(x). Ряды Фурье получили большое применение в работах Ж. Фурье и других ученых.... смотреть
Фур'е шэраг