ЧАПЛЫГИНА МЕТОД, метод приближённого интегрирования дифференциальных ур-ний, предложенный С. А. Чаплыгиным (1919). Ч. м. позволяет приближённо решать дифференциальное ур-ние с заранее заданной степенью точности путём построения последовательности функций {un} и {vn}, всё более точно аппроксимирующих искомое решение у заданного дифференциального ур-ния и таких, что un>= un+1 >= y>= vn+1 > vn. Способ построения последовательностей {иn} и {vn} основан на теореме Чаплыгина о дифференциальных неравенствах и представляет собой обобщение на случай дифференциальных ур-ний известного Ньютона метода, причём имеет место та же скорость сходимости, что и в методе Ньютона (т. е. погрешность имеет порядок 22" ).
Лит.: Чаплыгин С. А., Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, М. -Л., 1950.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений, предложенный С. А. Чаплыгиным (1919). Ч. м. позволяет приближённо решать диффере... смотреть
- метод приближенного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, состоящий в одновременном построении двух семейств последовательных приближении к ее решению. Напр., в случае задачи Коши для одного уравнения 1-го порядка <p><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/5ef1af76-8b07-4228-ab19-e3391b528d8b" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №1" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №1"> <br> одно из указанных семейств приближает решение с недостатком, а другое - с избытком. <br> В основе метода лежит <i> Чаплыгина теорема </i> о дифференциальных неравенствах. Пусть у(х)- решение задачи (1) и пусть кривые <i> у=и</i> (х)и <i>y=v</i>(x)целиком лежат в прямоугольнике R, проходят через точку (x<sub>0</sub><i>, y</i><sub>0</sub>) и при <i> х>х</i><sub>0</sub> удовлетворяют неравенствам <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/057b7b45-ff19-4303-bc50-1bc3e7146922" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №2" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №2"> </p><p> Тогда при х>х <sub>0</sub> справедливы неравенства <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/77b22fd6-6169-414f-b2a2-03391a85c0e7" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №3" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №3"> </p><p> Функции и(х)и v(х)<i>,</i> удовлетворяющие условиям теоремы Чаплыгина, дают двустороннюю оценку для решения задачи (1). <br> Если найдена пара начальных приближении u<sub>0</sub>(x) u<sub>0</sub>(x)<i>,</i> удовлетворяющих условиям (2), то Ч. м. позво ляет построить пару u<sub>1</sub>(x)<i>,</i> v<sub>1</sub> (х)более точных приближений, удовлетворяющих условиям <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/d9e6fd2c-d5e6-4dcf-8c99-29b649158945" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №4" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №4"> </p><p> В случае когда <img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/8c8e84ef-06e0-49a8-bfa5-65ab59892e8a" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №5" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №5">сохраняет знак в области <i>R,</i> пара u<sub>1</sub>(x)<i>,</i> v<sub>1</sub> (х) может быть получена путем решения двух линейных дифференциальных уравнении с начальным условием y(x<sub>0</sub>)<i>=y</i><sub>0</sub><i>.</i> Если, напр., <img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/02aeaedf-1f14-4da2-bd6d-7b901777e2f0" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №6" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №6">в <i>R,</i> то любая кривая, по к-рой плоскость <i> х=</i> сопstпересекает поверхность <i>z=f</i>(<i>x, y</i>), выпукла вниз, и каждая ее дуга лежит ниже хорды и выше касательной, проведенных из нек-рой ее точки.Если при нек-ром х=const уравнение касательной к кривой <i>z=f</i>(<i>x, у</i> )в точке y=u<sub>0</sub>(x): <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/c487d385-bff0-4a05-982c-770eac835d1e" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №7" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №7"> <br> где <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/c3fc3d10-d517-4391-88d0-67d651a0201f" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №8" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №8"> <br> а уравнение хорды, проходящей через точки y=u<sub>0</sub>(x) и <i>y=v</i><sub>0</sub>(x)<i> </i> той же кривой <img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/9a03add8-0762-4ae5-889c-158eb37fbed1" border="0" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №9" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №9"> где <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/4a126510-fe5b-4c77-b52d-268af5903328" border="0" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №10" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №10"> <br> то для этого значения химеет место неравенство <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/8a4ed748-d08f-4bc9-a5f2-5080649d9d7f" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №11" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №11"> </p><p> Условия (4) выполняются равномерно но <i>.</i> в области R; решение <i> у=и</i>1(х)задачи Коши <i>y'=k</i>(x)<i>y+p</i>(x)<i>, у</i> (х <sub>0</sub>)<i>=y</i><sub>0</sub> и решение <i>y=v</i><sub>1</sub> (х)<i> </i> задачи Коши <i> у' = l</i> (х)<i> у+р</i> (х)<i>, у</i> (х <sub>0</sub>)<i>=у</i><sub>0</sub><i> </i> удовлетворяют условию (2). Можно показать, что они удовлетворяют и условию (3). Зная пару u<sub>1</sub>(x)<i>,</i> v<sub>1</sub> (х), можно тем же способом построить следующую пару u<sub>2</sub>(x)<i>,</i> v<sub>2</sub> (х)и т. д. Процесс очень быстро сходится: <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/8c03d731-601b-47f2-8e94-1db3aaed4224" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №12" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №12"> <br> где константа сне зависит ни от <i> х,</i> ни от <i> п.</i> <br> Второй способ построения уточненных приближений <i>u<sub> п</sub></i> (х)<i>, v<sub>n</sub></i>(x)по известным <i>u<sub> п-</sub>1 </i> (х)<i>, v<sub>n-</sub>1</i>(x)не требует сохранения знак а <img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/a0b9a9c7-d582-44fe-833e-624adff410fc" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №13" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №13"> в R. В этом способе <br><img src="https://words-storage.s3.eu-central-1.amazonaws.com/production/article_images/5a3ab4ce2685b230f9b541d1/42429553-1286-4f5c-9dd7-72e4592b4cdd" align="absmiddle" class="responsive-img img-responsive" title="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №14" alt="ЧАПЛЫГИНА МЕТОД фото №14"> <br> где <i>k - Липшица константа</i> функции f(<i>x, у</i> )в <i>R.</i> И в этом случае пары функций <i> и <sub> п</sub></i> (х)<i>, v<sub>n</sub></i>(x)и <i>u<sub> п-</sub>1</i> (х)<i>, v<sub>n-</sub>1</i>(x)удовлетворяют условию (3) равномерно по <i> х,</i> но скорость сходимости тоньше, чем в формуле (5). <br> Основная трудность в применении Ч. м. состоит в построении начальных приближений u<sub>0</sub> (х)<i>, v</i><sub>0</sub> (х)<i>.</i> <br> Метод предложен С. А. Чаплыгиным в 1919. </p><p><i> Лит.</i>:[1] Чаплыгин С. А., Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнении, М.-Д., 1950; [2] Лузин Н. Н., О методе приближенного интегрирования академика С. А. Чаплыгина, лТр. ЦАГИ<br></p>... смотреть