ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, часть геометрии, входящая в элементарную математику. Границы Э. г., как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Э. г. есть та часть геометрии, к-рая изучается в средней школе; это определение, однако, не только не вскрывает содержания и характера Э. г., но и никак её не исчерпывает, т. к. в Э. г. включается обширный материал, лежащий вне школьных программ (напр., аксиоматика, сферич. геометрия). Можно сказать, что Э. г. есть исторически и, соответственно, логически первая глава геометрии (поскольку из неё развились другие геом. направления); в своих основах она сложилась в Др. Греции, и изложение её основ дают уже "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Такое ист. определение закономерно, но и оно также не уточняет общего содержания и характера Э. г., тем более что развитие Э. г. продолжается и в наст, время. Поэтому определение Э. г. должно быть раскрыто и дополнено.

В Др. Греции исследовали не только многоугольники, окружность, многогранники и др. фигуры, рассматриваемые в школьном курсе, но также конич. сечения (эллипс, гипербола, парабола) и ряд др., более сложных, кривых и фигур (напр., квадратриса). Однако каждый раз кривая (фигура) задавалась конкретным геом. построением, только такие кривые (фигуры) считались геометрическими, т. е. могущими быть предметом геометрии; другие же возможные кривые назывались механическими. Эта точка зрения была отвергнута в 17 в. Р. Декартом при создании им аналитической геометрии и полностью преодолена вместе с развитием анализа, когда предметом математики стали любые (по крайней мере любые аналитические) функции и кривые. В этом исторически ясно обозначенном переходе от конкретно определённых кривых (окружность, эллипс и т. д.) и функций (данная степень х, синус и т. п.) к любым, по крайней мере из обширного класса, кривым и функциям и состоит логич. переход от элементарной математики, в частности от Э. г., к высшей. Э. г. совершенно исключает рассмотрение любых ана-литич. кривых и поверхностей, к-рые составляют уже предмет дифференциальной геометрии, любых выпуклых тел, к-рые служат предметом геометрии выпуклых тел, и т. п. Вместе с тем каждая данная кривая, каждое данное выпуклое тело и т. п., определённые тем или иным построением или конкретным свойством (напр., эллипс, цилиндр и т. д.), могут стать предметом Э. г. Стало быть, Э. г. характеризуется в смысле её предмета тем, что в ней рассматриваются не вообще любые фигуры, но каждый раз те или иные достаточно определённые фигуры.

Точнее, Э. г. исходит из простейших фигур - точка, отрезок, прямая, угол, плоскость, и основного понятия о равенстве отрезков и углов или вообще о совмещении фигур при наложении, чем определяется их равенство. Кроме того, при строгом аксиоматич. построении Э. г. явно выделяются понятия: "точка лежит на прямой" или "на плоскости", "точка лежит между двумя другими". Предмет Э. г. составляют: 1) фигуры, определяемые конечным числом простейших фигур (как, напр., многоугольник определяется конечным числом отрезков, многогранник - конечным числом многоугольников, а стало быть, опять-таки отрезков); 2) фигуры, определённые тем или иным свойством, формулируемым в исходных понятиях (напр., эллипс с фокусами А, В есть геом. место таких точек X, что сумма отрезков ЛХ и ВХ равна данному отрезку); 3) фигуры, определённые построением (как, напр., конус строится проведением прямых из данной точки О во все точки к.-л. данной окружности, не лежащей с О в одной плоскости, а конич. сечение определяется пересечением конуса плоскостью). Фигура, как бы сложна она ни была, заданная подобным образом, может стать предметом исследования в рамках Э. г. Что касается свойств таких фигур, то Э. г. ограничивается изучением свойств, к-рые определяются опять-таки на основе указанных простейших понятий. Свойства эти суть прежде всего взаимное расположение фигур, равенство тех или иных элементов фигуры, длина, площадь, объём. Соответственно, определения длины окружности, площади эллипса, объёма шара и т. п. принадлежат Э. г. Однако общие понятия длины, площади и объёма лежат за пределами Э. г., напр, теорема о том, что среди всех замкнутых кривых данной длины наибольшую площадь ограничивает окружность, хотя и говорит о свойстве окружности, не принадлежит Э. г., т. к. в ней фигурирует понятие длины любой замкнутой кривой и ограничиваемой ею площади. В Э. г. рассматриваются свойства касательной к окружности, можно рассматривать и свойства касательных к эллипсу, гиперболе, параболе, но общее понятиё^!касательной лежит за пределами Э. г. Это логич. различие в общности понятий и степени абстракции вполне отвечает ист. развитию, ибо общие понятия длины, площади, объёма, так же как общее понятие касательной к кривой, были постепенно выработаны только вместе с развитием анализа, а указанная теорема о макс, свойстве окружности была строго доказана только в сер. 19 в. Геом. построения и преобразования, изучаемые в Э. г., определяются опять-таки конкретными геом. предписаниями на основе первичных понятий геометрии; таково, напр., преобразование обратных радиусов, или инверсия.

Соответственно предмету Э. г. ограничены и её методы; они заведомо исключают пользование общими понятиями любой фигуры, переменной, функции, исключают ссылки на общие теоремы теории пределов и т. п. Основной метод Э. г.- это вывод теорем путём наглядного рассуждения, основанного либо на исходных посылках - аксиомах, либо на уже известных теоремах Э. г., с применением того или иного вспомогательного построения, не употребляющего общих понятий кривой, тела и др. (например, "продолжим отрезок АВ", "разделим угол А пополам"). Привлекаемые в Э. г. вычислительные средства из алгебры и тригонометрии допускают, по существу, сведение к таким построениям. Понятие предела не исключается из Э. г., поскольку оно фигурирует в теоремах о длине окружности, поверхности шара и др., бесспорно включаемых в Э. г. Однако в каждом таком случае речь идёт о конкретной последовательности, заданной элементарно-геом. построением, и приближение к пределу устанавливается непосредственно, без ссылок на общую теорию пределов. Примером может служить определение длины окружности посредством рассмотрения последовательности вписанных и описанных правильных многоугольников. Подобный приём в принципе возможен для любой данной кривой, но для произвольной кривой вообще ничего подобного сделать нельзя, поскольку "кривая вообще" не задана конкретно. Стало быть, разница между Э. г., вообще элементарной математикой и высшей состоит скорее не в том, что во второй применяется понятие предела, а в первой - нет, а в степени общности этого понятия. Соответственно определению метода Э. г. та или иная теория может принадлежать Э. г. по формулировке, но не по доказательству. Примером может служить теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями граней (точную формулировку см. в ст. Многогранник). Эта теорема элементарна по формулировке, но известные её доказательства не элементарны, т. к. используют общие теоремы анализа либо даже топологии.

Коротко можно сказать, что Э. г. включает те вопросы геометрии, к-рые в своей постановке и решении не включают общей концепции бесконечного множества, но лишь конструктивно определённые множества (геометрические места). Когда говорят, что евклидова геометрия основана, скажем, на системе аксиом Гильберта или на иной, близкой по характеру системе аксиом, то забывают, что при введении общих понятий кривой, выпуклого тела, длины и др. фактически используют способы образования понятий, вовсе не предусмотренные в аксиомах, а опирающиеся на общую концепцию множества, последовательности и предела, отображения или функций. То, что выводится из аксиом Гильберта без таких добавлений, и составляет элементарную часть евклидовой геометрии. Это разграничение можно уточнить в терминах матем. логики. Вместе с тем, соответственно такому пониманию Э. г., можно говорить об Э. г. я-мерного евклидова пространства, о Э. г. Лобачевского и др. При этом имеются в виду те разделы, теоремы и выводы этих геом. теорий, к-рые характеризуются теми же чертами.

Лит.: Начала Евклида, пер. с греч., кн. 1 - 15, М.- Л., 1948-50; А дам ар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 4 изд., М., 1957, ч. 2, 3 изд., М., 1958; Погорелов А. В., Элементарная геометрия, 2 изд., М., 1974; История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1-3, М., 1970-72.