ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА (в классич. смысле), механич. система с конечным числом степеней свободы, напр, система конечного числа материальных точек или твёрдых тел, движущаяся по законам классич. динамики. Состояние такой системы обычно характеризуется её расположением (конфигурацией) и скоростью изменения последнего, а закон движения указывает, с какой скоростью изменяется состояние системы.

В простейших случаях состояние можно охарактеризовать посредством величин w₁ ,..., w_m, к-рые могут принимать произвольные (вещественные) значения, причём двум различным наборам величин w₁, ..., w_m и w‘, ..., w‘_mотвечают различные состояния, и обратно, а близость всех wi к wi‘ означает близость соответствующих состояний системы. Закон движения тогда записывается в виде системы обыкновенных дифференциальных ур-ний:

wi = fi(w₁,...,w_m), i=1,...,m.

(1) Рассматривая значения w₁, ..., w_m как координаты точки w в m-мерном пространстве, можно геометрически представить соответствующее состояние Д. с. посредством точки w. Эту точку называют фазовой (иногда также изображающей, или представляющей) точкой, а пространство - фазовым пространством системы (прилагательное "фазовый" связано с тем, что в прошлом состояния системы нередко наз. её фазами). Изменение состояния со временем изображается как движение фазовой точки по нек-рой линии (т. н. фазовой траектории; часто её называют просто траекторией) в фазовом пространстве. В последнем определено векторное поле, сопоставляющее каждой точке w выходящий из неё вектор f(w) с компонентами (f₁(w₁,...,w_m),...,f_m(w₁,...,w_m))

Дифференциальные ур-ния (1), к-рые с помощью введённых обозначений можно сокращённо записать в виде

w = f(w), (2) означают, что в каждый момент времени векторная скорость движения фазовой точки равна вектору f(w), исходящему из той точки w фазового пространства, где в данный момент находится движущаяся фазовая точка. В этом состоит т. н. кинематическая интерпретация системы дифференциальных ур-ний (1).

Напр., состояние частицы без внутр. степеней свободы (материальной точки), движущейся в потенциальном поле с потенциалом U(x₁, x₂, x₃), характеризуется её положением x= (x₁, x₂, х₃) и скоростью х, вместо скорости можно использовать импульс р = mx, где т - масса частицы. Закон движения частицы можно записать в виде x= 1/m р, p=-grad U (*). (3)

Формулы (3) представляют собой сокращённую запись системы шести обыкновенных дифференциальных ур-ний 1-го порядка. Фазовым пространством здесь служит 6-мерное евклидово пространство, 6 компонент вектора фазовой скорости суть компоненты обычной скорости и силы, а проекция фазовой траектории на пространство положений частицы (параллельно пространству импульсов) есть траектория частицы в обычном смысле слова.

Термин "Д. с." применяется и в более широком смысле, означая произвольную физич. систему (напр., систему автома-тич. регулирования, радиотехнич. систему), описываемую дифференциальными ур-ниями вида (1) или (2), и даже просто систему дифференциальных ур-ний такого вида, безотносительно к её происхождению. См. также ст. Эргодическая теория.

Лит.: Немыцкий В. В. иСтепа-нов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949; Коддингтон Э. А.,Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958, гл. 13 - 17; Халмош П. Р., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959; Л е ф ш е ц С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ.. М., 1961.

Д. В. Аносов.