ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА (матем.), точечные множества на прямой, в плоскости или в пространстве, содержащие все свои прикосновения точки. При этом точкой прикосновения множества Е паз. такая точка (не обязательно принадлежащая Е), что в любой её окрестности имеется по крайней мере одна точка из Е. Примером 3. м. может служить геомет-рич. фигура (круг, квадрат и т. д.), рассматриваемая вместе со своими граничными точками. Объединение конечного числа и пересечение любого числа 3. м. снова будет 3. м. Дополнение любого 3. м. является открытым множеством и наоборот. Наряду с открытыми множествами 3. м. являются простейшими типами точечных множеств и играют важную роль в теории функций и, в частности, в теории меры (см. Меры теория). Среди 3. м. особенно выделяются благодаря своим замечательным свойствам совершенные множества, т. е. 3. м., не имеющие изолированных точек (см., напр., Кантора множество).

Определение 3. м. сохраняется также для множеств в произвольных метрич. и топологич. пространствах. При этом для множеств в метрич. пространствах оно равносильно тому, что 3. м. это множество, содержащее все свои предельные точки.

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; Рудпн У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966. С. Б. Стечкин.