МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ МЕТОД

МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ МЕТОД, метод нахождения статистических оценок неизвестных параметров распределения; согласно М. п. м., в качестве оценок выбираются те значения параметров, при к-рых данные результаты наблюдений "наиболее вероятны". Предполагается, что результаты наблюдений X₁, ..., Х_п являются взаимно независимыми случайными величинами с одним и тем же распределением вероятностей, зависящим от одного неизвестного параметра 0 принадлежит ©, где © - множество допустимых значений 0. Для придания точного смысла принципу "наибольшей вероятности" поступают след, образом. Вводят функцию

L(x₁, ..., х_n; 0) = р(х₁;

0)...р(x_n; 0), где p(t; 0) в случае непрерывного распределения интерпретируется как плотность вероятности случайной величины X, а в дискретном случае - как вероятность того, что случайная величина X примет значение t. Функцию L(X₁, . . ., Х_п; 0) от случайных величин X₁, . . ., Х_п наз. функцией правдоподобия, а оценкой максимального правдоподобия параметра 0 наз. такое значение ^0 = ^0(X₁, . . ., Х_n) (само являющееся случайной величиной), при к-ром функция правдоподобия достигает наибольшего возможного значения. Т. к. точка максимума для log L та же, что и для L, то для нахождения оценок максимального правдоподобия следует решить т. н. уравнение правдоподобия

М. п. м. не всегда приводит к приемлемым результатам, однако в достаточно широком круге практически важных случаев этот метод является в известном смысле наилучшим. Так, напр., можно утверждать, что если для параметра 0 существует несмещённая эффективная оценка 0* по выборке объёма п, то уравнение правдоподобия имеет единств, решение ^0=0*. Что касается асимптотич. поведения оценок максимального правдоподобия при больших п, то известно, что при нек-рых общих условиях М. п. м. приводит к состоятельной оценке, к-рая асимптотически нормальна и асимптотически эффективна. Данные выше определения непосредственно обобщаются и на случай нескольких неизвестных параметров и на случай выборок из многомерных распределений. М. п. м. в его совр. виде был предложен англ, статистиком Р. Фишером (1912), однако в частных формах метод использовался К. Гауссом, а ещё раньше, в 18 в., к его идее были близки И. Ламберт п Д. Бернулли. Следует добавить, что назв. "М. п. м." является калькой с англ, "maximum likelihood method".

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Р а о С. Р., Линейные статистические методы п их применения, пер. с англ., М., 1968; X у д с о н Д., Статистика для физиков, пер. с англ., М., 1970. А. В. Прохоров.