МАЛЫЕ ВЫБОРКИ

МАЛЫЕ ВЫБОРКИ, статистические выборки столь малого объёма п, что к ним нельзя применить простые классич. формулы, действующие лишь асимптотически при при n стемящейся к бесконечности. Особенности статистич. оценки параметров по М. в. легче всего понять на примере нормального распределения (для к-рого малыми обычно считают выборки объёма п =< 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение а выборки x₁, х₂,..., х_п из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией б². Обозначим

Исходным пунктом при оценке а служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины

не зависит от а и б. Вероятность со неравенства -t_w< t <t_w и равносильного ему неравенства

вычисляется при этом по формуле

где s(t,n-1) есть плотность вероятности для т. н. Стьюдента распределения с n - 1 степенями свободы. Определяя для заданных я и со (0 < w <1) соответствующее t_w (что можно сделать, напр., по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ для величины а, имеющей значимости уровень со.

При больших п формула (2), связывающая со и t_w, приближённо может быть заменена формулой

Эту формулу иногда неправильно применяют для определения t_w при небольших п, что приводит к грубым ошибкам. Так, для со = 0,99 по формуле (3) находим (о,99 = 2,58; истинные значения t_0.99 для малых п приведены в следующей таблице:

n

2

3

4

5

10

20

30

t_0,99

63,66

9,92

5,84

4,60

3,25

2,86

2,76

Если пользоваться формулой (3) при п = 5, то получится вывод, что неравенство

выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой таблицей неравенство

Об оценке по М. в. теоретической дисперсии б² см. Хи-квадрат распределение. Разработаны также аналогичные методы оценки по М. в. параметров многомерных распределений (напр., коэффициента корреляции).

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, "Изв. АН СССР.

Серия математическая", 1942, т. 6, N° 1-2; Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965. Ю. В. Прохоров.