АФФНИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, точечные взаимно однозначные отображения плоскости (пространства) на себя, при к-рых прямые переходят в прямые. Если на плоскости задана декартова система координат, то любое А. п. этой плоскости может быть определено посредством т. н. невырожденного линейного преобразования координат x и у точек этой плоскости. Такое преобразование задаётся формулами х‘=ах + bу+р, y‘ - cx + dy + q с дополнительным требованием ab,cd = ad - bc =/0. Аналогично, любое А. п. пространства может быть определено при помощи невырожденных линейных преобразований координат точек пространства. Совокупность всех А. п. плоскости (пространства) на себя образует группу А. п. Это означает, в частности, что последовательное проведение двух А. п. эквивалентно нек-рому одному А. п.
Примерами А. п. могут служить ортогональное преобразование (это преобразование представляет собой движение плоскости или пространства или движение с зеркальным отражением); преобразование п о д об и я; равномерное "с ж а т и е" (рис.). Равномерное "сжатие" с коэффициентом k плоскости я к расположенной на ней прямой а - преобразование, при к-ром точки а остаются на месте, а каждая не лежащая на а точка М плоскости я смещается по лучу, проходящему через М перпендикулярно а, в такую точку М;
что отношение расстояний от М и .М ‘до а равно k; аналогично определяется равномерное "сжатие" пространства к плоскости. Всякое А. п. плоскости можно получить, выполнив нек-рое ортогональное преобразование и последовательное "сжатие" к нек-рым двум перпендикулярным прямым. Любое А. п. пространства можно осуществить посредством нек-рого ортогонального преобразования и последовательных "сжатий" к нек-рым трём взаимно перпендикулярным плоскостям. При А. п. параллельные прямые и плоскости преобразуются в параллельные прямые и плоскости. Свойства А. п. широко используются в различных разделах математики, механики и теоретич. физики. Так, в геометрии А. п. применяются для т. н. аффинной классификации фигур. В механике А. п. пользуются при изучении малых деформаций непрерывной сплошной среды; при таких деформациях малые элементы среды в первом приближении подвергаются А. п.
Лит.: Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической геометрии, 4 изд., М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Е ф и-мов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961. Э. Г. Лозняк.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»