НОМОГРАФИЯ

НОМОГРАФИЯ (от греч. nomos - закон и ...графим), раздел математики, объединяющий теорию и практич. методы построения номограмм - спец. чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрич. элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

На рис. 1 приведён пример номограммы для вычисления а_у - одного из углов

Рис. 1. Номограмма из выравненных точек для вычисления а_у.

установки резца на заточном станке по заданным значениям углов резца а и ф. Зависимость между этими величинами определяется формулой:

Номограмма состоит из трёх шкал: шкалы углов а_у, шкалы углов а и шкалы углов ф. Точки каждой из шкал являются изображениями значения соответствующего переменного. Номограмма построена так, что три точки, изображающие соответственно значения а_у а и ф, связанные данной зависимостью, всегда лежат на одной прямой. Отсюда непосредственно вытекает способ вычисления по номограмме: для вычисления а_у надо на шкалах а и ф найти точки, соответствующие данным значениям а и ф, и через них провести прямую. Эта прямая пройдёт на шкале а_у через точку, соответствующую искомому значению а_у. На номограмме пунктирная линия соединяет точки шкал а и ф со значениями а = 7,5° и ф = 4°; номограмма даёт ответ а_у = 62°.

Номограммы и их классификация. Номограммы различают по способу изображения переменных и по способу задания соответствия между изображениями переменных.

Изображения переменных. Значения переменных изображают на номограммах или точками, или линиями. Значение переменного, приписанное точке (линии), наз. пометкой точки (линии), а сама точка (линия) наз. помеченной точкой (линией). Область изменения переменного изображается на номограмме или совокупностью помеченных точек, к-рая наз. шкалой переменного или однопараметрич. семейством помеченных линий. Для нахождения на шкале точек по их пометкам и значений пометок по заданным точкам шкалы градуируются системой штрихов, указывающих на отдельные точки шкалы. У некоторых штрихов надписываются значения пометок точек. Соответствие между точками шкалы, не отмеченными штрихами и их пометками, устанавливается линейной интерполяцией, к-рая выполняется на номограмме на глаз. В семействе линий проводят также лишь отд. линии, остальные находят интерполяцией. При изображении значений переменных точками, наряду со шкалами, в номограммах применяют бинарные поля. Бинарное поле является изображением области изменения двух переменных и состоит из точек, каждой из к-рых поставлена в соответствие пара чисел - приписано две пометки: пометка первого переменного и пометка второго переменного. Точки бинарного поля заполняют двумерную область. В бинарном поле переменных и и v проводят два семейства линий и = const и v = const, к-рые позволяют по данным пометкам находить точку в поле и по точке поля её пометки (на рис. 3 это - вертикальные прямые h и кривые ф). В нужных случаях здесь также применяют линейную интерполяцию.

Классификация номограмм. Наиболее распространены следующие номограммы: из выравненных точек, сетчатые и транспарантные; для уравнения с двумя переменными применяют двойные шкалы.

Двойная шкала является простейшим видом номограммы. Для уравнения F(u, о) = 0 она состоит из совмещённых шкал переменных и и v. Шкалы построены так, что их точки, пометки к-рых удовлетворяют уравнению, совпадают. На рис. 2 приведён пример двойной шкалы для вычисления логарифмов: u = Igv.

Рис. 2. Двойная шкала для вычисления логарифма (и) числа (v).

Номограмма из выравненных точек уравнения F(u,v,w)= 0 состоит из трёх шкал переменных и, v и w, изображающих соответственно область изменения этих переменных. Шкалы номограммы построены так, что три точки, пометки к-рых удовлетворяют уравнению, лежат на одной прямой (отсюда и назв. номограммы; пример номограммы из выравненных точек приведён на рис. 1). Номограмма из выравненных точек с бинарным полем уравнения F(u, v, w, t) = 0 с четырьмя переменными состоит из шкал переменных и и v я бинарного поля переменных w и t. Шкалы и поле номограммы построены так, что две точки с пометками и и v на шкалах и точка поля с двойной пометкой (w, t) лежат на одной прямой, если значения переменных и, v, w и t удовлетворяют уравнению. Номограмма с двумя шкалами и бинарным полем приведена на рис. 3. Она

Рис. 3. Номограмма из выравненных точек с бинарным полем для вычисления площади (S) равнобочной трапеции.

служит для вычисления площади S равнобочной трапеции по длине Ь меньшего её основания, высоте h и углу ф между большим основанием и боковой стороной:

S = bh + h²ctg ф. Номограмма состоит из шкалы S, шкалы b и поля (ф, h). Для нахождения S надо по данным h и ф найти точку в поле, по данному Ь - точку на шкале и провести через эти точки прямую. Пометка точки пересечения прямой со шкалой S даёт ответ. На рисунке показан пунктиром пример, когда h = 8, ф = 60° и b = 8; ответ: S = 100.

Номограмма из выравненных точек может содержать и два и три бинарных поля, т. е. одним приложением линейки давать решение уравнения и с пятью и с шестью переменными.

Сетчатая номограмма уравнения F(u, v, w) = 0 с тремя переменными и, v и w состоит из трёх семейств помеченных линий, изображающих соответственно данные области изменения этих переменных. Линии семейств построены так, что каждые три линии, пометки к-рых удовлетворяют уравнению, пересекаются в одной точке. На рис. 4 приведён пример сетчатой номограммы для определения необходимой реактивной мощности k на 1 квт нагрузки электрич. установки для повышения её cos ф от COS ф₁ ДО COS ф₂ k = tg ф₁ - tg ф₂.

Она состоит из семейства прямых, помеченных значениями существующего cos ф1, семейства прямых, помеченных значениями k, и семейства кривых, помеченных значениями искомого cos ф₂.Для вычисления величины k по данным cos ф₁ и cos ф₂ надо найти на номограмме соответствующие линии и точку их пересечения. Пометка линии семейства k, проходящая через эту точку, даст ответ [так, для cos ф₁ = 0,8, cos ф₂ = 0,95 ("отставание") находим k = 0,4].

Рис. 4. Сетчатая номограмма для вычисления мощности, потребной на 1 квт нагрузки электрической установки для перехода от COS ф₁ К COS ф₂.

При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнит, задача: найти такое преобразование, при к-ром все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание. Такая задача носит назв. анаморфозы и эквивалентна задаче построения для данного уравнения номограммы из выравненных точек, так как посредством коррелятивного преобразования сетчатую номограмму из прямых можно перевести в номограмму из выравненных точек с тремя шкалами. Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются т. н. функциональные сетки. Функциональная сетка представляет собой систему координатных линий (и, v) (часто изготовленную типографским способом), имеющих в декартовых координатах уравнения:

Простейшими функциональными сетками являются логарифмич. и полулогарифмич. бумага (см. Логарифмическая бумага). Существуют также: сетка, на к-рой отрезками прямых изображаются части синусоиды; сетка для изображения нормального закона распределения вероятностей прямой линией (см. Вероятностная бумага) и т. п. Функциональные сетки применяются и при построении сетчатых номограмм, когда линии третьего семейства - кривые, но выглядят на сетке проще или нагляднее, чем в декартовой системе координат.

Транспарантная номограмма в простейшем случае состоит из двух плоскостей - основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных в виде шкал, бинарных полей или семейств помеченных линий; основная плоскость и транспарант могут также содержать непомеченные ("немые") линии и точки. Номограмма построена так, что элементы, помеченные значениями, удовлетворяющими уравнению, а также "немые" элементы номограммы при наложении транспаранта на осн. плоскость должны в определённой последовательности вступать в контакты. Контактом двух элементов наз. принадлежность их одного другому (точка лежит на линии, прямая касается линии и т. д.). Для практич. осуществления необходимых контактов в нужных случаях транспарант делают из прозрачного материала.

На рис. 5 показана Транспарантная номограмма для вычисления температуры t смеси двух жидкостей с одинаковой теплоёмкостью по формуле:

где mi - масса с температурой t₁, т₂ - масса с температурой t₂. Номограмма состоит из семейства параллельных прямых на основной плоскости номограммы и шкалы на транспаранте, оформленном в виде линейки. Прямые имеют пометки m₁ - влево от средней прямой с пометкой О (на рис. 5 она выделена), и пометки т₂ - вправо от средней прямой. Шкала транспаранта является одновременно шкалой переменных t₁, t₂и t. Для вычисления по номограмме накладывают транспарант на осн. плоскость так, чтобы точки, соответствующие данным m₁ и m₂, оказались на прямых, соответствующих данным t₂и t₁, т. е. здесь осуществляется контакт между точкой t₂ и прямой m₁и между точкой t₁ и прямой m₂. Ответом будет пометка точки пересечения шкалы t с прямой, имеющей пометку 0. В данном случае эта прямая играет роль "немого" элемента номограммы, вступающего в контакт с точкой ответной шкалы. На рис. 5 решён пример, когда m₁ = 8 кг, t₁ = 52°, m₂= 10 кг, t₂ = 16°; ответ: t = 32°.

Рис. 5. Транспарантная номограмма для определения температуры смеси двух жидкостей с одинаковой теплоёмкостью.

Примером транспарантной номограммы, транспарант к-рой имеет лишь поступат. движение, является логарифмич. линейка.

Составные номограммы. Для уравнений со многими переменными применяют составные номограммы, представляющие систему отд. номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий. Обычно элементами составных номограмм являются номограммы из выравненных точек и сетчатые номограммы.

Погрешности вычислений по номограммам. Выполнение вычислений по номограммам сопровождается погрешностями, к-рые являются следствием невозможности (в процессе вычисления) точного осуществления необходимого соответствия между элементами номограммы.

Точность вычисления по номограммам существенно зависит от аккуратности выполнения необходимых операций. При вычислении по номограммам из выравненных точек следует применять прозрачную линейку с продольной визирной чертой.

Возможность представления уравнений номограммами. Номограммы разделяются на точные и приближённые.

Номограмма данной функциональной зависимости называется точной, если обусловленное её типом соответствие между изображениями переменных (в предположении точного осуществления) устанавливает между переменными зависимость, совпадающую с данной.

Условия точного номографирования налагают определённые ограничения на вид уравнений, для к-рых можно построить номограммы.

Условия, к-рым должно удовлетворять уравнение, для того чтобы можно было построить его номограмму, наз. условиями номографируемости. При построении номограмм номографируемое уравнение преобразуется в одну из т. н. канонич. форм, для к-рых известны в общем виде уравнения шкал, полей, семейств линий соответствующей номограммы.

При построении составных номограмм дополнительно необходимо представление данного уравнения со многими переменными в виде системы уравнений с меньшим числом переменных - т. н. разделение переменных (это достигается введением вспомогат. параметров).

Номограмма данной функциональной зависимости называется приближённой, если обусловленное типом номограммы соответствие между её элементами (в предположении точного его осуществления) устанавливает между переменными зависимость, приближённо представляющую данную. Создан ряд способов построения приближённых номограмм в основном типа из выравненных точек.

На рис. 6 изображена приближённая номограмма интегрального закона Стьюдента распределения вероятностей:

Погрешность в определении t за счёт приближённого номографирования в данной области изменения переменных а, k и t не превышает ± 0,001.

Приближённые номограммы применяют тогда, когда точные номограммы невозможны или когда точные номограммы имеют неудачную форму и дают большую погрешность в ответе-

Рис. 6. Приближённая номограмма из выравненных точек интегрального закона Стьюдента распределения вероятностей.

Историческая справка. Геометрич. изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. К ним можно отнести достаточно сложные построения, содержащие семейства линий и шкалы как изображения переменных (встречающиеся, напр., в солнечных часах и астролябиях). Разработка теории номография, построений началась в 19 в. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм (франц. математик Л. Л. К. Лаланн, 1843). Основания общей теории номографич. построений дал М. Окань в 1884-91; в его же работах впервые встречается название "Н.". Первым в России вопросами Н. начал заниматься Н. М. Герсеванов в 1906-08. Большая заслуга в деле развития теории Н. и организации номографирования инж. расчётов принадлежит Н. А. Глаголеву, возглавлявшему сов. номографич. школу.

Лит.! Пентковский М. В., Считающие чертежи. (Номограммы), 2 изд., М., 1959; его же, Номография, М.- Л., 1949; Герсеванов Н. М., Основы номографии, 2 изд., М.- Л., 1932; Глаголев Н. А.,

Теоретические основы номографии, 2 изд., М.-Л., 1936; его же, Курс номографии, 2 изд., М., 1961; Невский Б. А., Справочная книга по номографии, М.- Л., 1951; Номографический сборник, М., 1951; D‘O с a g п е М., Traite de nomographie, 2 ed., P., 1921; S о u r e a u R., Nomographie ou traite des abaques, t. 1 - 2, P., 1921. М. В. Пентковский.