НОРМАЛЬНАЯ (ЖОРДАНОВА) ФОРМА МАТРИЦ. С каждой квадратной матрицей А=||aik||1n связан целый класс матриц, подобных матрице A. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин "Н. (ж.) ф. м." связан с именем К. Жордана]. На схеме показана жорда-нова форма нек-рой матрицы 8-го порядка:
Вдоль главной диагонали расположены спец. квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке Л1, во второй Л2 и т. д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из к-рых первая имеет порядок 4, вторая и третья - порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел Л1, Л2, • • • возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет след. элементарные делители: (Л-Л1)4, (Л-Л2)2, (Л-Л3)2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.
Если матрица Л имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = Т1Т-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I наз. приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.
Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных ур-ний с постоянными коэффициентами:
в матричной записи:
Введём новые неизвестные функции y1, y2, . . ., уп при помощи неособенной матрицы Т = ||tik||n1 [tik, - числа (i, k = 1, 2, . . ., n)]:
в матричной записи: х = Ту. Подставляя это выражение для х в (2), получим:
где матрица I связана с матрицей Л равенством:
Обычно матрицу Т подбирают так чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система ур-ний (3) значительно проще системы (2). Так, напр., при п = 8, если матрица А=||tik||81имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:
Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального ур-ния. Лит. см. при ст. Матрица.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»