ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ

ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ, математическое понятие, обобщающее классич. понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математич. задачах. Понятие О. ф., с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, О. ф. служат удобным аппаратом для описания распределений различных физич. величин. Поэтому в иностр. лит-ре О. ф. называют распределениями.

О. ф. были введены впервые в кон. 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции и её производных. Основы математич. теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи для гиперболич. ур-ний, а в послевоенные годы франц. математик Л. Шварц дал систематич. изложение теории О. ф. В дальнейшем теорию О. ф. интенсивно развивали многие математики, гл. обр. в связи с потребностями математич. физики. Теория О. ф. имеет многочисл. применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.

Формально О. ф. определяются как линейные непрерывные функционалы над тем или иным линейным пространством осн. функций ф(дг). Осн. пространством функций является, напр., совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабжённая надлежащей сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f(x) отождествляются с функционалами (регулярными О. ф.) вида

Произвольная О. ф. f определяется как функционал f‘, задаваемый равенством

При таком соглашении каждая О. ф. бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f(x), так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

Вводятся и др. операции над О. ф., напр, свёртка функций, Фурье преобразование, Лапласа преобразование. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия О.ф., расширяющих возможности классич. математич. анализа. Поэтому использование О. ф. существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

на поверхности S с поверхностной плотностью момента v диполей, ориентированных вдоль направления нормали n:

- ньютонов потенциал с плотностью f, где f - любая О. ф. Общее решение ур-ния колебаний струны

задаётся формулой и(х, t) = f(x + at) + g(x-at), где f и д - любые О. ф.

Лит.: Д и р а к П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М. - Л., 1932; Soboleff S., Methode nouvelle eresoudre le probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales, "Математический сборник", 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971. В. С. Владимиров.