ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = = f(х) - данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = (р(у), является о б-р а т н о и по отношению к данной функции у = f(x). Напр., О. ф. для у = = ах + b (а ^ 0) является х=(у-b)/а, О. ф. для у = е* является х = In у и т. д. Если х = ф(y) есть О. ф. по отношению к у = f(x), то и у = f(x) есть О. ф. по отношению к х = ф(у). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.- область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у = f(x) и у = <р(х) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х), как, напр., у = ах + b и у = (х - b)/а, у = е^хи у = In х, симметричны по отношению к биссектрисе у = х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функции, может быть многозначной (ср., напр., функции х² и корень из х). Для однозначности О. ф. необходимо и достаточно, чтобы данная функция у = f(x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.

Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin x служит интервал -Пи/2<х<Пи/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin x обратной функции Arc sin x. Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения ф[f(x)] = x и f[ф(x)] = x, первое из к-рых справедливо для всех значений х из области определения функции f(x), а второе - для всех значений х из области определения функции ф(х); напр., е^1nх = = х (х > 0). Иногда функцию, обратную к f(x) = у, обозначают f^-1(y) = х, так что для непрерывной и монотонной функции f(x): f^-1[f (x)]=f[f^-1(x)]=x. Вообще же f^-1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений к-рой является х; так, для f(x)= x², x(не равен 0) является лишь одним из двух значений f^-1[f (x)] = корню из х (другое: -х); для f(x) = sin x, x является лишь одним из бесконечного множества значений

Если у = f(x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = х₀ и дифференцируема при х = х₀, причём f‘(х₀) не равно 0, тo f^-1(y) дифференцируема при у = у_о и

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для -Пи/2<х<Пи/2, y = f(x) = sin x непрерывна и монотонна, f‘(x) = cos x не равно 0 и f^-1(y)=arc sin у (-1<у<1) дифференцируема, причём где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для -Пи/2 <х<Пи/2).