ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ функции, выражение функциональной зависимости между неск. переменными посредством вспомогательных переменных параметров. В случае двух переменных x и у зависимость между ними F (х, у) - 0 может быть геометрически истолкована как уравнение нек-рой плоской кривой. Любую величину t, определяющую положение точки (х,у) на этой кривой (напр., длину дуги, отсчитываемой со знаком + или - от нек-рой точки кривой, принятой за начало отсчёта, или момент времени в нек-ром заданном движении точки, описывающей кривую), можно принять за параметр, в функции к-рого выразятся х и у.

Последние функции и дадут П. п. функциональной зависимости между x и у, уравнения (*) называют параметрич. уравнениями соответствующей кривой. Так, для случая зависимости х² + у² = 1 имеем П. п. х= cos t, у = sin t (0=<t<2П) (параметрич. уравнения окружности); для случая зависимости х² - у² = 1 имеем

или также х = cosec t, y - ctg t (-Пи<t<Пи, t не равно 0) (параметрич. ур-ния гиперболы ). Если параметр t можно выбрать так, что функции (*) рациональны, то кривую называют уникурсальной (см. Уникурcальная кривая); такой является, напр., гипербола. Особенно важно П. п. пространственных кривых, т. е. задание их уравнениями вида: x = ф (t), у = фи (t), z = x (t). Так, прямая в пространстве допускает П. п. х = а + mt; у = b + nt; z = с + pt, винтовая линия - П. п. х - a cos t; у = a sin t; z - ct.

Для случая трёх переменных х, у и z, связанных зависимостью F (x,y,z) = О (одну из них, напр. z, можно рассматривать как неявную функцию двух других), геометрич. образом служит поверхность. Чтобы определить положение точки на ней, нужны два параметра и и v (напр., широта и долгота на поверхности шара), так что П. п. имеет вид: x = ф (и, v); у = фи(и, v); z = x (и, v). Напр., для зависимости х² + y²=(z² + 1)² имеем П. п. х = (и²-1)cos v; у = (и² + l)sin v, z = и. Важнейшими преимуществами П. п. являются: 1) то, что они дают возможность изучать неявные функции и в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен; 2) то, что здесь удаётся выражать многозначные функции посредством однозначных. Вопросы П. п. изучены особенно хорошо для аналитич. функций. П. п. аналитич. функций посредством однозначных аналитич. функций составляет предмет теории униформизации.