ПРИБЛИЖЕНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ПРИБЛИЖЕНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, раздел теории функций, посвящённый изучению вопросов приближённого представления функций.

Приближение функций -нахождение для данной функции f функции g из нек-poro определённого класса (напр., среди алгебраич. многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f, дающей её приближённое представление. Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g, как понимается близость функций f и д. Интерполирование функций - частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей её функции д, а в более общем случае - и значения нек-рых их производных.

Для оценки близости исходной функции f и приближающей её функции д используются в зависимости от рассматриваемой задачи метрики различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций С и функций, интегрируемых с р-й степенью, L_P, р>=1, в к-рых расстояние между функциями f и gопределяется (для функций, заданных на отреяке [a, b] по формулам

Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида

где ф₁, ...,ф_n-заданные функции, а а₁ ..., а_n - произвольные числа. Обычно это алгебраич. многочлены

или тригонометрич. полиномы

Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам, по собственным функциям краевых задач и т. п. Другим классич. средством приближения являются рациональные дроби P(x)/Q(x), где в качестве Р и О берутся алгебраич. многочлены заданной степени.

В последнее время (60-70-е гг. 20 в.) значит. развитие получило приближение т. н. сплайн-функциями (сплайнами). Характерным их примером являются кубич. сплайн-функции, определяемые след, образом. Отрезок [а, b] разбивается точками а = х₀<х₁<...<х_n= b, на каждом отрезке [x_K, x_k-n] кубическая сплайн-функция является алгебраич. многочленом третьей степени, причём эти многочлены подобраны так, что на всём отрезке [а, b] непрерывны сама сплайн-функция и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут быть использованы, напр., для того чтобы сплайн-функция интерполировала в узлах х_k приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов x_kи правильного их расположения на отрезке [а, b]. Сплайн-функции оказались удобными в вычислит. математике, с их помощью удалось решить также нек-рые задачи теории функций.

Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрич. пространствах.

Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из осн. понятий теории - понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f(x)

где минимум берётся по всем числам a₁, . . ., а_n. Полином, для к-рого достигается этот минимум, наз. полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xⁿ⁺¹на отрезке [-1, 1] в метрике С алгебраич. многочленами степени п равно 1/2ⁿ а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

След. теорема Чебышева указывает характеристич. свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраич. мно-

мает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.

Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно к-рой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраич. многочленами достаточно высокой степени.

С нач. 20 в. началось систематич. исследование поведения при п -> БЕСКОНЕЧНОСТЬ последовательности E_n(f) - наилучших приближений функции f алгебраическими (или тригонометрич.) многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин E_n(f) в зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой - изучаются свойства функции по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие теоремы.

Для того чтобы функция f была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в нек-рой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраич. многочленами выполнялась оценка

где q<1 и Л - нек-рые положительные числа, не зависящие от п (теорема С. Н. Бернштейна).

Для того чтобы функция f периода 2п имела производную порядка r, r -= 0, 1, 2, . . . , удовлетворяющую условию

|f^(r)> (x + h) - f^(r) (x) | <=M | h |^a, 0 < а < 1, М - нек-рое положительное число, или условию

(в этом случае a = 1), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции f тригонометрич. полиномами была справедлива оценка

где А - нек-рое положительное число, не зависящее от п. В этом утверждении прямая теорема была в основном получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна, Ш. Ж. Ла Балле Пуссена и А. Зигмунда (США). Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближений алгебраич. многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.

Возможность характеризовать классы функций с помощью приближений их полиномами нашла приложение в ряде вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой имеют место не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.

Для приближений в метрике L₂полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей и её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.

Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий каждой функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы f + g не обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций f к g. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Напр., для перио-дич. функции f(x) можно брать частные суммы её ряда Фурье S_n(f, x). При этом справедлива оценка (теорема А. Лебега)

где L_n - числа, растущие при n->БЕСКОНЕЧНОСТЬ как (4/п²)lnn. Они получили название констант Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы S_n(f) доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего. Подобная оценка имеет место и для приближений интерполяционными тригонометрич. полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраич. многочленами на от-

k = 1, 2, ..., п, т. е. в нулях полинома Чебышева cos п arc cos x. Для основных встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяц. полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при n->БЕСКОНЕЧНОСТЬ, что и наилучшие приближения.

А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений -задачи о нахождении при фиксированном п такой системы функций ф1, . . ., фn, для к-рой наилучшие приближения функций заданного класса

меньшими (т. н. задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, напр., что -для ряда важных классов периодич. функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрич. полиномы.

Теория приближений функций является одним из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислит. математики. С 1968 в США издаётся специализированный журнал "Journal of Approximation Theory".

См. также Приближение функций комплексного переменного.

Лит.: Монографии. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.-Л., 1949; Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.

Обзоры. Математика в СССР за тридцать лет. 1917 - 1947, М.-Л., 1948, с. 288 - 318; Математика в СССР за сорок лет. 1917 - 1957, т. 1, М., 1959, с. 295 - 379; История отечественной математики, т. 3, К., 1968, с. 568 -588. С. А. Теляковский.