ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций спец. классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами и рациональными функциями. Осн. являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т. п.). Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитич. функций и природе аналитичности.

Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно к-рой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного г, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность) этой области посредством полиномов от г. Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов К в комплексной плоскости любая функция f, непрерывная на К и голоморфная на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутр. точек была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей - М. В. Келдышем (1945) и в общем случае -С. Н. Мергеляном (1951).

Пусть Е„ = En (f,K) - наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше п (в равномерной метрике). Если К - компакт со связным дополнением и функция f голоморфна на К, то последовательность {Е_п} стремится к нулю быстрее нек-рой геометрич. прогрессии: Еn<qⁿ, 0<q = q(f) < 1 (п >N). Если f непрерывна на К и голоморфна во внутр. точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрич. свойств границы К.

Другие направления исследований -равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций неск. комплексных переменных.

Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М., 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М.- Л., 1964; МергелянС. Н., Приближения функций комплексного переменного, в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1, М.,1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. I, К., 1970, с. 112 - 78.

А. А. Гончар.