РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ, важный частный случай сходимости. Последовательность функций fn(x) (n = 1, 2, . . .) наз. равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f(x), если для каждого е>0 существует такое N = N(E), что |f(x)-f_n(x)|<E при n>N для всех точек х из данного множества. Напр., последовательность функций f_n(x)=xⁿравномерно сходится на отрезке [0, 1/2] к предельной функции f(x) = 0, так как |f(x)-f_n(x)|=<(1/2)ⁿ<E для всех 0=<x=<1/2, если только n>ln(1/8)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f(x)=0 при 0=<х<1 и f(l) = l, т. к. для любого сколько угодно большого заданного п существуют точки n, удовлетворяющие неравенствам корень в n-ой степени из 1/2<n<1, для к-рых |f(n) - f_n(n)|=nⁿ> 1/2. Понятие Р. с. допускает простую геометрич. интерпретацию: если последовательность функций fn(x) равномерно сходится на нек-ром отрезке к функции f(x), то это означает, что для любого E>0 все кривые y=fn(x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2е, ограниченной кривыми у = f(x) ± E для любого х из этого отрезка (см. рис.).

Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; напр., предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, к-рая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математич. анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрич. полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций.