РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, одно из осн. понятий теории вероятностей и математич. статистики. Р. вероятностей к.-л. случайной величины, т. е. величины, принимающей в зависимости от случая то или иное численное значение, задаётся указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей. Так, напр., для числа т очков, выпадающих на верхней грани игральной кости, Р. вероятностей ртзадаётся табличкой:
Возможные значения m
1
2
3
4
5
6
Соответствующие вероятности рт
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Подобным же образом Р. любой случайной величины X, возможные значения к-рой образуют конечную или бесконечную последовательность, задаётся указанием этих значений
х1, х2, ..., хn, ...
и соответствующих им вероятностей
p1, р2, ..., рn, ...
При этом вероятности рт должны быть положительны и в сумме должны давать единицу. Р. указанного типа наз. дискретными. Примером дискретного Р. может служить Пуассона распределение, определяемое вероятностями
где Л > 0 - параметр.
Однако задание Р. указанием возможных значений хnи соответствующих вероятностей рn не всегда возможно. Напр., если величина распределена "равномерно" на отрезке [-1/2, + 1/2], подобно "ошибкам округления" при измерении непрерывных величин, то вероятность каждого отд. значения равна нулю. Р. таких случайных величин задаётся указанием вероятности того, что случайная величина X примет значение из любого наперёд заданного интервала. В том случае, когда существует функция Рх(х) такая, что вероятность попадания X в любой интервал (а, b) равна
Р. величины X наз. непрерывным. Функция Рх(х) носит название плотности вероятности. Плотность вероятности неотрицательна и обладает тем свойством, что
В указанном выше случае равномерного Р. на отрезке [-1/2, + 1/2]
Важнейшее Р. непрерывного типа - нормальное распределение с плотностью
(a и o>0 - параметры).
Р. случайных величин не исчерпываются дискретным и непрерывным типами: они могут быть и более сложной природы. Поэтому желательно иметь такое описание Р., к-рое было бы пригодно во всех случаях. Это описание может быть достигнуто, напр., при помощи т. н. функции распределения Fx (х). Значение этой функции при каждом фиксированном х равно вероятности Р{Х<х} того, что случайная величина х примет значение, меньшее х, т. е.
Функция Р. есть неубывающая функция х, изменяющаяся от 0 до 1 при изменении х от - бесконечности до + бесконечности. Вероятность того, что X примет значение из нек-рого полуинтервала [а, b), равна вероятности того, что X будет удовлетворять неравенству a =< X < b, т. е. равна
F(b) - F(a).
Примеры. 1) Пусть Е - нек-рое событие, вероятность появления к-рого есть р, где 0<р<1. Тогда число м появлений события Е при п независимых наблюдениях есть случайная величина, принимающая значения т = 0, 1, 2, ..., п с вероятностями
Это Р. носит название биномиального распределения. Биномиальное Р. (см. рис. 1, а и б) при больших п близко к нормальному в силу Лапласа теоремы.
Рис. 1. Биномиальное распределение: а - вероятности рт = Сmn рт qn-m; б -функция распределения (п = 10, р =
0,2). Гладкими кривыми изображено нормальное приближение биномиального распределения.
2) Число наблюдений до первого появления события Е из примера 1 есть случайная величина, принимающая все целые значения т = 1, 2, 3, ... с вероятностями
Рт = qm-1 р.
Это Р. носит название геометрического, т. к. последовательность {рт} есть геометрич. прогрессия (см. рис. 2, а и б).
Рис. 2. Геометрическое распределение: а - вероятности рт = qm-1p; б - функция распределения (р = 0,2).
3) Р., плотность к-рого р(х) равна 1/2h на нек-ром интервале (a - h, a + h) и равна нулю вне этого интервала, носит название равномерного распределения. Соответствующая функция Р. растёт линейно от 0 до 1 при изменении х от а - h до а + h (см. рис. 3, а и б).
Дальнейшие примеры Р. вероятностей см. в статьях Кошм распределение, Пирсона кривые, Полиномиальное распределение, Показательное распределение, "Хи-квадрат" распределение, Стьюдента распределение.
Рис. 3. Равномерное распределение: а -плотность вероятности; 6 - функция распределения.
Пусть случайные величины X и Y связаны соотношением Y = f(X), где f(x) - заданная функция. Тогда Р. Y может быть довольно просто выражено через Р. X. Напр., если X имеет нормальное Р. и Y = еx, то Y имеет т. н. логарифмически-нормальное распределение с плотностью (см. рис. 4)
Рис. 4. Плотность логарифмически-нормального распределения (m = 2, o = 1).
Формулы, связывающие Р. величин X и Y, становятся особенно простыми, когда У = аХ + b, где а и b - постоянные. Так, при а>0
Часто полное описание Р. (напр., при помощи плотности или функции Р.) заменяют заданием небольшого числа характеристик, к-рые указывают или на наиболее типичные (в том или ином смысле) значения случайной величины, или на степень рассеяния значений случайной величины около нек-рого типичного значения. Из этих характеристик наиболее употребительны математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия. Математич. ожидание ЕХ случайной величины X, имеющей дискретное Р., определяется как сумма ряда
при условии, что этот ряд сходится абсолютно. Для случайной величины X, имеющей Р. непрерывного типа с плотностью Рх(х), математич. ожидание определяется формулой
при условии, что написанный интеграл сходится абсолютно. Если Y = f(X), то ЕУ может быть вычислено двумя способами. Напр., если X и Y имеют непрерывное Р., то, с одной стороны, по определению
с другой стороны, можно показать, что
Дисперсия DX определяется как
т. е., напр., для непрерывного Р.
Р. вероятностей имеют много общего с Р. к.-л. масс на прямой. Так, случайной величине X, принимающей значения x1, х2, ..., хп с вероятностями р1, р2, ..., рп, можно поставить в соответствие Р. масс, при к-ром в точках хk размещены массы, равные pk. При этом формулы для ЕХ и DX оказываются совпадающими с формулами, определяющими соответственно центр тяжести и момент инерции указанной системы материальных точек. Подробнее о числовых характеристиках Р. см. в статьях Квантиль, Медиана, Мода, Математическое ожидание, Вероятное отклонение, Дисперсия, Квадратичное отклонение.
Если складываются неск. независимых случайных величин, то их сумма будет случайной величиной, Р. к-рой зависит только от Р. слагаемых (чего не будет, как правило, при сложении зависимых случайных величин). При этом, напр., для случая двух слагаемых, каждое из к-рых имеет Р. непрерывного типа, имеет место формула:
В весьма широких предположениях Р. суммы независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых приближается к нормальному Р. или к др. предельным Р. (см. Предельные теоремы теории вероятностей). Однако для установления этого факта явные формулы типа (*) практически непригодны, поэтому доказательство ведётся обходным путём, обычно с использованием т. н. характеристических функций.
Статистические распределения и их связь с вероятностными. Пусть произведено п независимых наблюдений случайной величины X, имеющей функцию P. F(x). Статистич. Р. результатов наблюдений задаётся указанием наблюдённых значений x1, х2, ..., хr случайной величины X и соответствующих им частот h1, h2, ..., hr (т. е. отношений числа наблюдений, в к-рых появляется данное значение, к общему числу наблюдений). Напр., если при 15 наблюдениях значение 0 наблюдалось 8 раз, значение 1 наблюдалось 5 раз, значение 2 наблюдалось 1 раз и значение 3 наблюдалось 1 раз, то соответствующее статистич. Р. задаётся табличкой:
Наблюдённые значения хт
0
1
2
3
Соответствующие частоты hm
8/15
1/3
1/15
1/15
Частоты всегда положительны и в сумме дают единицу. С заменой слова "вероятность" на слово "частота" к статистич. Р. применимы мн. определения, данные выше для Р. вероятностей. Так, если x1, х2, ..., хr - наблюдённые значения X, a h1, h2, ..., hr - частоты этих наблюдённых значений, то соответствующие статистич. Р. среднее и дисперсия (т. н. выборочное среднее и выборочная дисперсия) определяются равенствами
а соответствующая функция Р. (т. н. эмпирическая функция распределения) - равенством
F*(x) = пх/n,
где пx - число наблюдений, результат к-рых меньше х. Статистич. Р. и его характеристики могут быть использованы для приближённого представления теоретич. Р. и его характеристик. Так, напр., если X имеет конечные математич. ожидание и дисперсию, то, каково бы ни было е>0, неравенства
выполняются при достаточно большом п с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Т. о., x и s2 суть состоятельные оценки для ЕХ и DX соответственно (см. Статистические оценки). Сов. математик В. И. Гливенко показал, что при любом ?>0 вероятность неравенства
|F*n(x)-F(x)| < e
при всех х стремится к единице при п, стремящемся к бесконечности. Более точный результат установлен сов. математиком А. Н. Колмогоровым; см. об этом Непараметрические методы в математической статистике.
Многомерные распределения. Пусть X и У - две случайные величины. Каждой паре (X, У) можно отнести точку Z на плоскости с координатами X и У, положение к-рой будет зависеть от случая. Совместное Р. величин X и У задаётся указанием возможных положений точки Z и соответствующих вероятностей. Здесь также можно выделить два осн. типа Р.
1)Дискретные распределения. Возможные положения точки Z образуют конечную или бесконечную последовательность. Р. задаётся указанием возможных положений точки Z
Z1, Z2, ..., Zn, ...
и соответствующих вероятностей p1, p2, ..., рn, ...
2) Непрерывные распределения задаются плотностью вероятности р (х, у), обладающей тем свойством, что вероятность попадания точки Z в к.-л. область G равна
Пример: двумерное нормальное Р. с плотностью
где
-математич. ожидания и дисперсии величин X и У,
и R - коэфф. корреляции величин X и У:
Аналогично можно рассматривать Р. вероятностей в пространствах трёх и большего числа измерений. О многомерных Р. см. также Корреляция, Регрессия.
О возможности дальнейших обобщений и о связи между понятием меры множества и понятием Р. см. Вероятностей теория.
Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Крамер Г., Математические методы статистики пеp. с англ., М., 1948; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения пеp. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967; Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. Ю. В. Прохоров.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Р. вероятностей какой-либо случайной величины, т. е. величины, приним... смотреть
одно из осн. понятий теории вероятностей и матем. статистики. Р. вероятностей случайной величины X задаётся указанием возможных значений x1, x2, ...это... смотреть
корень - РАСПРЕ; корень - ДЕЛ; суффикс - ЕН; окончание - ИЯ; Основа слова: РАСПРЕДЕЛЕНВычисленный способ образования слова: Суффиксальный∩ - РАСПРЕ; ∩ ... смотреть
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Распределение вероятностей какой-либо случайной величины задается в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей, в более сложных - т. н. функцией распределения или плотностью вероятности. Примеры распределения - см. Биномиальное распределение, Нормальное распределение, Равномерное распределение.<br><br><br>... смотреть
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ - одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Распределение вероятностей какой-либо случайной величины задается в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей, в более сложных - т. н. функцией распределения или плотностью вероятности. Примеры распределения - см. Биномиальное распределение, Нормальное распределение, Равномерное распределение.<br>... смотреть
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ , одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Распределение вероятностей какой-либо случайной величины задается в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей, в более сложных - т. н. функцией распределения или плотностью вероятности. Примеры распределения - см. Биномиальное распределение, Нормальное распределение, Равномерное распределение.... смотреть
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, одно из основных понятий теории вероятностей и математической статистики. Распределение вероятностей какой-либо случайной величины задается в простейшем случае указанием возможных значений этой величины и соответствующих им вероятностей, в более сложных - т. н. функцией распределения или плотностью вероятности. Примеры распределения - см. Биномиальное распределение, Нормальное распределение, Равномерное распределение.... смотреть
- одно из основных понятий теории вероятностей иматематической статистики. Распределение вероятностей какой-либо случайнойвеличины задается в простейшем случае указанием возможных значений этойвеличины и соответствующих им вероятностей, в более сложных - т. н.функцией распределения или плотностью вероятности. Примеры распределения -см. Биномиальное распределение, Нормальное распределение, Равномерноераспределение.... смотреть
одно из осн. понятий теории вероятностей и матем. статистики. Р. вероятностей к.-л. случайной величины задаётся в простейшем случае указанием возможных... смотреть
• rozvodu (2.p.)
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИАГРАММА двигателя внутреннего сгорания, графическое изображение зависимости моментов открытия и закрытия клапанов (окон) от положения... смотреть
поршневой машины - графич. изображение зависимости времени открытия и закрытия окон (клапанов) для подвода и отвода рабочего тела от угла поворота коле... смотреть
двигателя внутреннего сгорания, графическое изображение зависимости моментов открытия и закрытия клапанов (окон) от положения поршня (угла пово... смотреть
• rozdělování dodatečných příjmů
размеркавання закон
в т е о р и и в е р о я т н о с т е й - удобный описательный термин, могущий означать, в зависимости от контекста, распределение вероятностей (нап... смотреть
теория распределения значений мероморфных функций, построенная в 20-х гг. 20 в. Р. Неванлинной (R. Nevanlinna, см. [1]), основной задачей к-рой яв... смотреть
ақырлы өлшемді үлестірімдер
равновесное отношение концентрации элемента в одной фазе к его концентрации в другой фазе, например в системе из двух несмешивающихся жидкостей Р. к. м... смотреть
центрлік емес үлестірімдер
величина, применяемая при анализе распределения количественной переменной , сгруппированной в интервалы. Вычисляется по формуле pi = fi/ li, где i номер интервала; pi плотность распределения для интервала с номером i; fi частота для интервала i (абсолютная или относительная); li длина интервала i. Интерпретируется как средняя частота, приходящаяся на 1 единицу измерения шкалы. Применяется при определении моды статистической , построении гистограммы распределения и полигона распределения . Если все интервалы группировки имеют одинаковую длину, вычислением Р.П. можно пренебречь. О.В. Терещенко... смотреть
график распределения частот для порядковых и количественных переменных ( также Шкала измерительная). Представляет собой ломаную линию, наглядно демонстрирующую распределение частот. Линия Р.П. соединяет точки, координаты которых для дискретных и непрерывных переменных определяются по-разному. Для дискретной переменной Р.П. строится в пространстве двух координатных осей: по оси абсцисс традиционно представляются значения переменной, упорядоченные по возрастанию, по оси ординат их частоты.... смотреть
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ТРУДУ ЗАКОН, объективный экономический закон социализма, согласно к-рому распределение большей части необходимого продукта осуществ... смотреть
- англ. law of distribution according to work done; нем. Gesetz von der Verteilung nach der Arbeitsleistung. Распределение благ для индивидуального потребления, осуществляемое в соответствии с количеством и качеством труда, затраченного работниками в обществ, производстве. Antinazi.Энциклопедия социологии,2009... смотреть
объективный экономический закон социализма, согласно которому распределение большей части необходимого продукта (См. Необходимый продукт) осуще... смотреть
келісімді үлестірімдер
• rozdělování základního kapitálu
размеркавання функцыя
к а к о й - л и б о с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы X - функция действительного переменного х, принимающая при каждом хзначение, равное вероятн... смотреть
центрлік үлестірімдер
центрлендірілген үлестірімдер
Schwartz distribution