СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ линейного преобразования или оператора А, числа , для к-рых существует ненулевой вектор x такой, что Ax = x; вектор x наз. собственным вектором. Так, С. з. дифференциального оператора L(y) с заданными краевыми условиями служат такие числа , при к-рых уравнение L(y) = у имеет ненулевое решение, удовлетворяющее этим краевым условиям. Напр., если оператор L(y) имеет вид у", то его С. з. при краевых условиях y(0) = = y(л) = О служат числа вида n = n2, где n - натуральное число, т. к. уравнению - у" = п2у с указанными краевыми условиями удовлетворяют функции yn= sin nx; если же n<> п2ни при каком натуральном п, то уравнению - у" = у при тех же краевых условиях удовлетворяет только функция у(х) = 0. К изучению С. з. линейных операторов приводят MH. задачи математики, механики и физики (аналитической геометрии и алгебры, теории колебаний, квантовой механики и т. д.).
С. з. матрицы А = ||ik|| (i, k - = 1,2,...,и) называют С. з. соответствующего ей линейного преобразования -мерного комплексного пространства. Их можно определить также как корни определителя матрицы А - E (где E - единичная матрица), т. е. корни уравнения
называемого характеристическим уравнением матрицы. Эти числа совпадают для подобных матриц А и B-1AB (где В - неособенная матрица) и характеризуют поэтому свойства линейного преобразования, не зависящие от выбора системы координат. Каждому корню f уравнения (*) отвечает вектор x1 <> 0 (собственный вектор) такой, что Ax1 = = 1x1.Если все С. з. различны, то множество собственных векторов можно выбрать за базис векторного пространства. В этом базисе линейное преобразование описывается диагональной матрицей
Каждую матрицу А с различными С. з. можно представить в виде C-1C. Если А - самосопряжённая матрица, то её С. з. действительны, собственные векторы ортогональны, а матрицу С можно выбрать унитарной (см. Унитарная матрица). Модуль каждого С. з. унитарной матрицы равен 1. Сумма С. з. матрицы равна сумме её диагональных элементов, т. е. следу её матрицы. Знание С. з. матрицы играет важную роль в исследовании сходимости некоторых приближённых методов решения систем линейных уравнений. См. также Собственные функции.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
линейного преобразования или оператора А, числа λ, для которых существует ненулевой вектор х такой, что Ах = λх; вектор х называется собственны... смотреть
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ линейного преобразования, скаляры, на которые умножаются его собственные векторы. Таким образом, есть собственные значения преобразования A, если существует ненулевой вектор x такой, что Aх = ?x.<br><br><br>... смотреть
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ линейного преобразования - скаляры, на которые умножаются его собственные векторы. Таким образом, есть собственные значения преобразования A, если существует ненулевой вектор x такой, что Aх = ?x.<br>... смотреть
линейного преобразования, скаляры, на к-рые умножаются его собств. векторы. Т.о., Я. есть С. з. преобразования А, если существует ненулевой вектор х та... смотреть
- линейного преобразования - скаляры, на которыеумножаются его собственные векторы. Таким образом, есть собственныезначения преобразования A, если существует ненулевой вектор x такой, чтоAх = ?x.... смотреть
численные методы нахождения - методы вычисления собственных значений и соответствующих собственных функций дифференциальных операторов. Колебания упру... смотреть
численные методы нахождения - методы вычисления полного спектра интегрального оператора или его части (чаще всего ставится задача отыскания одного-дву... смотреть
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ линейного преобразования, скаляры, на которые умножаются его собственные векторы. Таким образом, есть собственные значения преобразования A, если существует ненулевой вектор x такой, что Aх = ?x.... смотреть
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ линейного преобразования , скаляры, на которые умножаются его собственные векторы. Таким образом, есть собственные значения преобразования A, если существует ненулевой вектор x такой, что Aх = ?x.... смотреть