СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

СПИНОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, математическая теория, изучающая величины особого рода - спиноры. При изучении физ. величин их относят обычно к той или иной системе координат. В зависимости от закона преобразования этих величин при переходе от одной системы координат к другой различают величины различных типов (тензоры, псевдотензоры). При изучении явления спина электрона было обнаружено, что существуют физ. величины, не принадлежащие к ранее известным типам (напр., эти величины могут быть определены лишь с точностью до знака, т. к. при повороте системы координат на 2л вокруг нек-рой оси все компоненты этих величин меняют знак). Такие величины были рассмотрены ещё в 1913 Э. Картоном в его исследованиях по теории представлений групп и вновь открыты в 1929 Б. Л. Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике. Он назвал эти величины спинорами.

Спиноры первой валентности задаются двумя комплексными числами (¹, ² ), причём в отличие, напр., от тензоров, для к-рых различные совокупности чисел задают различные тензоры, для спиноров считают, что совокупности (¹, ²) и (-¹, -²) определяют один и тот же спинор. Это объясняется законом преобразования спиноров при переходе от одной системы координат к другой. При повороте системы координат на угол  вокруг оси с направляющими косинусами cos x₁, eos x_2, cos x₃ компоненты спинора преобразуются по формулам

В частности, при повороте системы координат на угол 2л, возвращающем её в исходное положение, компоненты спинора меняют знак, что объясняет тождественность спиноров (¹, ²) и (-¹, - ²). Примером спинорной величины может служить волновая функция частицы со спином 1/2 (напр., электрона).

Матрица  = |||| является в этом случае унитарной матрицей.

К спинорам относят и величины, компоненты к-рых ¹, ² комплексно сопряжены с компонентами спинора (¹, ²). Матрица преобразования этих величин

имеет вид =||||

Пусть Охуz и O‘x‘y‘z‘ - две системы координат с параллельными осями, причём O‘x‘y‘z‘ движется относительно Oxyz со скоростью  = cth  (где с - скорость света) в направлении, образующем с осями координат углы x₍, x₂, xз. При Лоренца преобразованиях, соответствующих переходу от Oxyz k O‘x‘y‘z‘, компоненты спинора преобразуются по формулам

Если рассматривают преобразования Лоренца для случая, когда оси координат непараллельны, то матрица  преобразования компонент спинора может быть любой комплексной матрицей второго порядка, определитель к-рой равен единице,- унимодулярной матрицей.

Наряду с введёнными выше контравариантными компонентами ¹, ² спинора, можно ввести ковариантные компоненты , ₂, положив  = ₀, где

= _ IQ (как всегда, по повторяющимся индексам производится суммирование). Иными словами, ² = ,¹ = = - ₂. Ковариантные компоненты преобразуются матрицей || - ||· При вращениях эта матрица совпадает с матрицей , . е. при вращениях ковариантные компоненты спинора преобразуются как компоненты комплексно сопряжённого спинора.

Спинорная алгебра строится аналогично обычной тензорной алгебре (см. Тензорное исчисление). Спинором валентности г (или спинтензором) наз. совокупность 2‘ комплексных чисел ¹² ·· ‘, определённых с точностью до знака, к-рая при переходе от одной системы координат к другой преобразуется как произведение г компонент спиноров первой валентности, т. е. как  |* ... ‘. Аналогично определяются комплексно сопряжённый спинор валентности г, смешанный спинор, спинор с ковариантными компонентами и т. д. Сложение спиноров и умножение спинора на скаляр

определяются покоординатно. Произведением двух спиноров наз. спинор, компонентами к-рого являются попарные произведения компонент сомножителей. Напр., из спиноров второй и третьей валентности аи b⁴ можно образовать спинор пятой валентности аb⁴. Свёрткой спинора ^2...Г по индексам ₁ и ₂ наз. спинор

В спинорной алгебре часто используются тождества

В квантовой механике важную роль играет исследование систем линейных дифференциальных ур-ний, связывающих величины спинорного типа, к-рые остаются инвариантными при унимодулярных преобразованиях, т. к. только такие системы ур-ний релятивистски инвариантны. Наиболее важны приложения спинорного анализа к теории ур-ний Максвелла и Дирака. Запись этих ур-ний в спинорной форме позволяет сразу установить их релятивистскую инвариантность, установить характер преобразования входящих в них величин. Спинорная алгебра находит также приложения к квантовой теории хим. валентности. Теория спиноров в пространствах высшего числа измерений связана с представлениями групп вращений многомерных пространств. С. и. связано также с нек-рыми вопросами неевклидовой геометрии.

Лит.: P у м е рЮ. Б., Спинорный анализ, M.- Л., 1936; К а р т а н Э., Теория спиноров, пер. с франц., M., 1947; Ландау Л., Лифшиц E., Квантовая механика, ч. 1, М.- Л., 1948 (Теоретическая физика, т. 5, ч. 1); P а ш е в с к и и П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., M., 1967; его же, Теория спиноров, "Успехи математических наук", 1955, т. 10, в. 2(64).