СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ, функции от результатов наблюдений, употребляемые для статистического оценивания неизвестных параметров распределения вероятностей изучаемых случайных величин. Напр., если X1, ..., Xn - независимые случайные величины, имеющие одно и то же нормальное распределение с неизвестным средним значением а, то функции - среднее арифметическое результатов наблюдений

и выборочная медиана СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №1СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №2СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №3,.... Xn) являются возможными точечными С. о. неизвестного параметра а. В качестве С. о. к.-л. параметра СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №4 естественно выбрать функцию СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №5*(ХСТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №6, .., Xn) от результатов наблюдений Xi, ..., Xn, в нек-ром смысле близкую к истинному значению параметра. Принимая к.-л. меру "близости" С. о. к значению оцениваемого параметра, можно сравнивать различные оценки по качеству. Обычно мерой близости оценки к истинному значению параметра служит величина среднего значения квадрата ошибки

(выражающаяся через математическое ожидание оценки ЕСТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №7СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №8* и её дисперсию DСТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №9Q*). В классе всех несмещённых опенок (для к-рых EСТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №10СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №11* = СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №12) наилучшими с этой точки зрения будут оценки, имеющие при заданном СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №13минимальную возможную дисперсию _при всех СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №14. Указанная выше оценка X для параметра а нормального распределения является наилучшей несмещённой оценкой, поскольку дисперсия любой другой несмещенной оценки а* параметра а удовлетворяет неравенству Daa* > DaX = СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №152/п, где СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №162 - дисперсия нормального распределения. Если существует несмещённая оценка с минимальной дисперсией, то можно найти и несмещённую наилучшую оценку в классе функций, зависящих только от достаточной статистики. Имея в виду построение С. о. для больших значений п, естественно предполагать, что вероятность отклонений СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №17* от истинного значения параметра СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №18, превосходящих к.-л. заданное число, будет близка к нулю при n -> бескон.. С. о. с таким свойством называются состоятельными оценками. Несмещённые оценки, дисперсия к-рых стремится к нулю при n->бескон., являются состоятельными. Поскольку скорость стремления к пределу играет при этом важную роль, то асимптотич. сравнение С. о. производят по отношению их асимптотич. дисперсий. Так, среднее арифметическое X в приведённом выше примере - наилучшая и, следовательно, асимптотически наилучшая оценка для параметра а, тогда как выборочная медиана СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №19, представляющая собой также несмещённую оценку, не является асимптотически наилучшей, т. к.

(тем не менее использование СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №20 имеет также положительные стороны: напр., если истинное распределение не является в точности нормальным, а несколько отличается от него, дисперсия X может резко возрасти, а дисперсия СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №21 остаётся почти той же, т. е. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ фото №22 обладает свойством, наз. "прочностью"). Одним из распространённых общих методов получения С. о. является метод моментов, к-рый заключается в приравнивании определённого числа выборочных моментов к соответствующим моментам теоретич. распределения, к-рые суть функции от неизвестных параметров, и решении полученных уравнений относительно этих параметров. Хотя метод моментов удобен в практич. отношении, однако С. о., найденные при его использовании, вообще говоря, не являются асимптотически наилучшими. Более важным с теоретич. точки зрения представляется максимального правдоподобия метод, который приводит к оценкам, при некоторых общих условиях асимптотически наилучшим. Частным случаем последнего является наименьших квадратов метод. Метод С. о. существенно дополняется оцениванием с помощью доверительных границ.

Лит.: К е н д а л л M., СтьюартА., Статистические выводы и связи, пер. с англ., M., 1973; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., M., 1975. А. В. Прохоров.




Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»

СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСЧЁТЫ →← СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГРУППИРОВКИ

Смотреть что такое СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ в других словарях:

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

        функции от результатов наблюдений, употребляемые для статистического оценивания (См. Статистическое оценивание) неизвестных параметров распреде... смотреть

T: 377