УНИКУРСАЛЬНАЯ КРИВАЯ

УНИКУРСАЛЬНАЯ КРИВАЯ (от уни... и лат. cursus - бег, путь) (матем.), плоская кривая, к-рая может быть задана параметрич. ур-ниями x = ф(t), y=х(t), где ф(t) и х(f) - рациональные функции параметра t. Важнейшие теоремы об У. к.: если алгебраич. кривая имеет макс. число двойных точек, допускаемое её порядком, то она уникурсальна; обратная ей: всякая У. к. является алгебраич. кривой с макс. числом двойных точек, допускаемым её порядком. В формулировке этих теорем предполагается, что точки высшей кратности пересчитаны по определённым правилам на двойные (напр., одна тройная точка эквивалентна трём двойным).

Макс. число двойных точек, к-рое может иметь алгебраич. кривая n-го порядка, равно (п-1)(n-2)/2 = б. Если кривая п-го порядка имеет r двойных точек, то разность 6 - r, т. е. число двойных точек, недостающее до макс. числа, наз. дефектом, или родом, этой кривой.У. к. может быть также поэтому определена как алгебраич. кривая, род к-рой равен нулю. Очевидно, что прямая линия и кривая 2-го порядка не могут иметь двойных точек, следовательно, они всегда уникурсальны. Кривая 3-го порядка уникурсальна, если она имеет одну двойную точку, кривая 4-го порядка уникурсальна, если она имеет три двойные точки, и т. д.

На рис. изображена кривая 3-го порядка, наз. декартовым листом; она имеет одну двойную точку и, следовательно,

уникурсальна. В самом деле, она может быть задана параметрич. ур-ниями:

где параметр t равен тангенсу угла наклона радиус-вектора точки (х, у) к оси Ох. При подсчёте двойных точек нельзя основываться на внеш. виде кривой, т. к. двойные точки могут быть бесконечно удалёнными или мнимыми. Напр., кривая 4-го порядка - лемниската Бернул-ли, имеет одну лишь действительную двойную точку, но она имеет ещё две двойные точки в мнимых круговых точ-.ках и, следовательно, уникурсальна.

У. к. играют важную роль в теории интегралов алгебраич. функций. Всякий интеграл вида

где R (х, у) есть рациональная функция двух переменных, а у есть функция от х, определяемая ур-нием F(x, y)=0, задающим У. к., приводится к интегралу от рациональной функции и выражается в элементарных функциях.