ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции, связанные с обращением эллиптических интегралов. Э. ф. применяются во мн. разделах математики и механики как при теоретич. исследованиях." тек и для численных расчётов.

Подобно тому как трнгонометрич. функция и = sinx является обратной по отношению к интегралу

так обращение нормальных эллинтич. интег" ралов 1-го рода

где г = sin ф, k - модуль эллпптич. интеграла, порождает функции: Ф = am г - амплитуда г (эта функция не является Э. ф.) и со = sn г = sin (am z) - синус амплитуды. Функции en z - косинус амплитуды и dn г - дельта амплитуды определяются формулами

Функции sn z, en г, dn z называют Э. ф. Я к о б и. Они связаны соотношением sn²z + cn² z = k²sn²z + dn²z = 1.

-полный нормальный эллиптич. интеграл 1-го рода и 4JC - основной период Э. ф. sn г. В отличие от однопериодич. функции sin х, функция sn z - двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2гК‘, где

- дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. Ф. Якоби приведены в таблице, где тип - любые целые числа.

Э. ф. Веберштрасса сг(х) может быть определена как обратная нормальному вллиптич. интегралу Вейерштрасса 1-го рода

где параметры д₂и д₃ - наз. инвариантами о (я:). При этом предполагается, что нули e1, e2 и e3 многочлена 4t³ - gt² - g₃различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса {?(x) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:

Любая мероморфная двоякопериодическая функция f(i) с периодами ш₁ и ш₂, отношение к-рых мнимо, т. е. f(z + mш₁ + mш₂) = А(z)при m, п = 0, ± 1, ±2, ... и

является Э. ф. Для построения Э. ф., а также численных расчётов применяют сигма-функции и тэта-функции.

Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптич. интегралах, система-тич. изложение теории к-рых дал А. Лежандр. Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., назв. его именем. В 1847 Ж. Лиувиллъ опубл. изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через ^-функцию, а также ?-, а-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).

Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; ГурвицА., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; У и т т ек е р Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.

один из двух видов параболоидов.