ГАЛУА ТЕОРИЯ

ГАЛУА ТЕОРИЯ, созданная Э. Галуа теория алгебр, ур-ний высших степеней с одним неизвестным, т. е. ур-ний вида

устанавливает условия сводимости решения таких ур-ний к решению цепи др. алгебр, ур-ний (обычно более низких степеней). Т. к. решением двучленного

ур-ния является радикал то ур-ние (*) решается в радикалах, если его можно свести к цепи двучленных ур-ний. Все ур-ния 2-й, 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах. Ур-ние 2-й степени x² + px + q = 0 было решено в глубокой древности по общеизвестной формуле Ур-ния 3-й и 4-йстепеней были решены в 16 в. Для ур-ния 3-й степени вида х³ + рх + q = 0 (к к-рому можно привести всякое ур-ние 3-й степени) решение даётся т. н. формулой Кардано:

опубликованной Дж. Кардано в 1545, хотя вопрос о том, найдена ли она им самим или же заимствована у др. математиков, нельзя считать вполне решённым. Метод решения в радикалах ур-ний

4-й степени был указан Л. Феррари. В течение трёх последующих столетий математики пытались найти аналогичные формулы для ур-ний 5-й и высших степеней. Наиболее упорно над этим работали Э. Безу и Ж. Лагранж. Последний рассматривал особые линейные комбинации корней (т. н. резольвенты Лагранжа), а также изучал вопрос о том, каким ур-ниям удовлетворяют рациональные функции от корней ур-ния (*). В 1801 К. Гаусс создал полную теорию решения в радикалах двучленного ур-ния вида хⁿ = 1, в к-рой свёл решение такого ур-ния к решению цепи двучленных же ур-ний низших степеней и дал условия, необходимые и достаточные для того, чтобы ур-ние xⁿ = l решалось в квадратных радикалах. С точки зрения геометрии, последняя задача заключалась в отыскании правильных n-угольников, к-рые можно построить при помощи циркуля и линейки; поэтому ур-ние xⁿ = l и называется ур-нием деления круга. Наконец, в 1824 Н. Абель показал, что общее ур-ние

5-й степени (и тем более общие ур-ния высших степеней) не решается в радикалах. С другой стороны, Абель дал решение в радикалах одного общего класса ур-ний, содержащего ур-ния произвольно высоких степеней, т. н. абелевых уравнений.

Т. о., когда Галуа начал свои исследования, в теории алгебр, ур-ний было сделано уже много, но общей теории, охватывающей все возможные ур-ния вида (*), ещё не было создано. Напр., оставалось: 1) установить необходимые и достаточные условия, к-рым должно удовлетворять ур-ние (*) для того, чтобы оно решалось в радикалах; 2) узнать вообще, к цепи каких более простых ур-ний, хотя бы и не двучленных, может быть сведено решение заданного ур-ния (*) и, в частности, 3) выяснить, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы ур-ние (*) сводилось к цепи квадратных

ур-ний (т. е. чтобы корни ур-ния можно было построить геометрически с помощью циркуля и линейки). Все эти вопросы Галуа решил в своём "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах", найденном в его бумагах после смерти и впервые опубликованном Ж. Лиувиллемъ 1846. Для решения этих вопросов Галуа исследовал глубокие связи между свойствами ур-ний и групп подстановок, введя ряд фундаментальных понятий теории групп. Своё условие разрешимости ур-ния (*) в радикалах Галуа формулировал в терминах теории групп. Г. т. после Галуа развивалась и обобщалась во мн. направлениях. В совр. понимании Г. т.- теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов (так, напр., возможны Г. т. полей, Г. т. колец, Г. т. топологич. пространств и т. п.).

Лит.: Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.- Л., 1936; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, т. 1 - 2, М.- Л., 1934-37; Постников М. М., Теория Галуа, М., 1963.