ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции от п переменных  , непрерывные в нек-рой области вместе с частными производными первого и второго порядков и удовлетворяющие в этой области дифференциальному уравнению Лапласа

Во мн. вопросах физики и механики, где речь идёт о состоянии части пространства, зависящем от положения точки, но не от времени (равновесие, установившееся движение и т. п.), соответствующее состояние представляется Г. ф. от координат точки. Так, напр., потенциал сил тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и потенциал постоянного электрич. поля в области, не содержащей электрич. зарядов, суть Г. ф. Точно так же Г. ф. являются потенциал скоростей установившегося безвихревого движения несжимаемой жидкости, темп-pa тела при условии установившегося распределения тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на контур произвольного вида, вообще неплоский (весом мембраны пренебрегают), и т. д.

Наиболее важны для приложения к физике и механике Г. ф. от трёх переменных (координат точки). В частном случае, когда область пространства ограничена цилиндрич. поверхностью, образующие к-рой параллельны, напр., оси г, причём изучаемое явление протекает одинаковым образом в любой плоскости, перпендикулярной к образующим (т. е. не зависит от координаты z), соответствующие Г. ф.

от трёх переменных превращаются в Г. ф. от двух переменных x и у. Последние находятся в тесной связи с аналитическими функциями  от комплексного переменного А именно каждая Г. ф. от х и у есть действительная или мнимая часть нек-рой функции  , и, обратно, действительная и мнимая части любой аналитич. функции суть Г. ф. отл: и у. Напр., будучи действительной и мнимой частями функции суть Г. ф. Важнейшими задачами теории Г. ф. являются краевые, или граничные, задачи, в к-рых требуется найти Г. ф. внутри области на основании данных, относящихся к поведению функции на границе этой области. Такова задача Дирихле, где Г. ф. ищется по её значениям, заданным в точках границы области (напр., определение темп-ры внутри тела по темп-ре на его поверхности, поддерживаемой так, что она зависит только от точки, но не от времени, или определение формы мембраны по виду контура, на к-рый она натянута). Такова также задача Неймана, где Г. ф. ищется по величине её нормальной производной, заданной на границе области (напр., определение темп-ры внутри тела по заданному на поверхности градиенту темп-ры или определение потенциала движения несжимаемой жидкости, обтекающей твёрдое тело, на основании того, что нормальные составляющие скоростей частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными составляющими скоростей точек поверхности тела).

Для решения задач Дирихле, Неймана и др. краевых задач теории Г. ф. разработаны различные методы, имеющие большое теоретич. значение. Напр., для задачи Дирихле известны: альтернирующий метод (Шварца), метод выметания (Пуанкаре), метод интегральных уравнений (Фредгольма), метод верхних и нижних функций (Перрона) и др. При рассмотрении краевых задач для областей общего вида возникают важные вопросы об условиях существования решений, об устойчивости решений при малых изменениях границы области и др. Этим вопросам посвящены работы М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и др. сов. математиков. Весьма большое значение для приложений теории Г. ф. к задачам физики и техники имеет также разработка методов численного решения краевых задач.

Лит.: Келдыш М. В., О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, "Успехи математических наук", 1940, в. 8; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.- Л., 1946; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961. А. И. Маркушевич.