ДЛИНА

ДЛИНА, числовая характеристика протяжённости линий. В разных случаях понятие Д. определяется различно. 1) Д. отрезка прямой - расстояние между его концами, измеренное к.-л. отрезком, принятым за единицу Д. 2) Д. ломаной -сумма Д. её звеньев. 3) Д. простой дуги -предел Д. вписанных в эту дугу ломаных, когда число звеньев неограниченно увеличивается и макс. Д. звеньев стремится к нулю. 4) Д. непрерывной кривой, состоящей из конечного числа простых дуг, равна сумме Д. этих дуг. Напр., Д. окружности может. быть получена как предел периметров правильных вписанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон и равна 2пR, где R - радиус окружности. Всякая непрерывная кривая имеет Д. - конечную или бесконечную. Если её Д. конечна, то кривая наз. спрямляемой. График функции (см. рис.)

даёт пример неспрямляемой кривой; здесь Д. вписанных ломаных неограниченно растут, когда Д. звеньев стремятся к нулю. Если уравнение плоской кривой в прямоугольных координатах имеет вид у = = f(x) (а =<x<=b), причём функция f(x) имеет непрерывную производную f‘(x), то Д. кривой выражается интегралом

Аналогично выражается Д. кривой, заданной параметрически, и Д. пространственной кривой.

К вычислению Д. кривой при помощи предельного перехода из Д. ломаных прибегали по существу ещё математики древности. Для них, однако, этот предельный переход был лишь способом вычисления Д. кривой, а не определения понятия Д. кривой, т. к. последнее им представлялось,по-видимому, одним из первоначальных математич. понятий. Необходимость определения Д. кривой стала ясной лишь в 1-й пол. 19 в. Полное выяснение вопроса было достигнуто К. Жорданом. В дифференциальной геометрии определяется также Д. кривой на поверхности или в произвольном римановом пространстве. О единицах и технике измерения Д. см. Меры, длины, Измерение.

Лит.: Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969. С.Б.Стечкин.