АРИФМЕТИКА

АРИФМЕТИКА (греч. arithmetike, от arithmos - число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение производить действия с числами необходимы для практич. и культурной деятельности человека. Поэтому А. является элементом дошкольного воспитания детей и обязательным предметом школьной программы.

С помощью натуральных чисел конструируются многие матем. понятия (напр., основное понятие матем. анализа - действительное число). В связи с этим А. является одной из основных матем. наук. Когда делается упор на логич. анализ понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика. А. тесно связана с алгеброй, в к-рой, в частности, изучаются действия над числами без учёта их индивидуальных свойств. Индивидуальные свойства целых чисел составляют предмет чисел теории.

Историческая справка.Возникнув в глубокой древности из практич. потребностей счёта и простейших измерений, А. развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, к-рые предъявляли к ней другие науки.

О возникновении счёта и о начальных стадиях образования арифметич. понятий судят обычно по наблюдениям, относящимся к процессу счёта у первобытных народов, и, косвенным образом, путём изучения следов аналогичных стадий, сохранившихся в языках культурных народов и наблюдающихся при усвоении этих понятий детьми. Эти данные говорят о том, что развитие тех элементов мыслительной деятельности, к-рые лежат в основе процесса счёта, проходит ряд промежуточных этапов. К ним относятся: умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счёту совокупности предметов; умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и вместе с тем равноправные при счёте (пользование именованной "единицей" счёта); умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств, вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз навсегда упорядоченной совокупности объектов, т. е. совокупности объектов, расположенных в определённой последовательности. Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счёте предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлечённого понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметич. понятий.

Сначала счёт оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, за пределами к-рого количественные различия осознаются смутно и характеризуются словами, являющимися синонимами слова "много"; при этом орудием счёта служат зарубки на дереве ("бирочный" счёт), счётные камешки, чётки, пальцы рук и т. п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, напр.: "глаза" - как синоним числительного "два", кисть руки ("пясть") - как синоним и фактич. основа числительного "пять", и т. п.

Словесный порядковый счёт (раз, два, три и т. д.), прямую зависимость к-рого от пальцевого счёта (последовательное произнесение названий пальцев, частей рук) в нек-рых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счётом групп, содержащих определённое число предметов. Это число образует основание соответствующей системы счисления, обычно, в результате счёта по пальцам двух рук, равное 10; Естречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 "quatre-vingt" = = 4 X 20), по 40, по 12 ("дюжина"), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых сношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно обнаруживали тенденцию к единообразию у общавшихся между собой племён и народностей; это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в наст. время системы нумерации (счисления), принципа поместного (поразрядного) значения цифр и способов выполнения арифметич. действий. Повидимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имён числительных в различных языках: напр., два-dva (санскр.), бvо (греч.), duo (лат.), two (англ.).

Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметич. знаний в эпоху древних цивилизаций являются письменные документы Др. Египта (папирусы математические), написанные приблизительно за 2 тыс. лет до н. э. Это - сборники задач с указанием их решений,правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами, без каких бы то ни было пояснений теоретич. характера. Решение нек-рых задач в этом сборнике производится, по существу, с помощью составления и решения ур-ний; встречаются также арифметич. и геом. прогрессии.

О довольно высоком уровне арифметич. культуры вавилонян за 2-3 тыс. лет до н. э. позволяют судить клинописные математические тексты. Письменная нумерация вавилонян в клинописных текстах представляет собой своеобразное соединение десятичной системы (для чисел, меньших 60) с шестидесятиричной, с разрядными единицами 60, 60² и т. д. Наиболее существенным показателем высокого уровня А. является употребление шестидесятиричных дробей с распространением на них той же системы нумерации, аналогично современным десятичным дробям. Техника выполнения арифметич. действий у вавилонян, в теоретич. отношении аналогичная обычным приёмам в десятичной системе, осложнялась необходимостью прибегать к обширным таблицам умножения (для чисел от 1 до 59). В сохранившихся клинописных материалах, представлявших собой, по-видимому, учебные пособия, находятся, кроме того, и соответствующие таблицы обратных чисел (двузначные и трёхзначные, т. е. с точностью до 1/60² и 1/60³), применявшихся при делении.

У древних греков практич. сторона А. не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для производства сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что древнегреч. астрономы предпочитали пользоваться шестидесятиричной системой). С другой стороны, др.-греч. математики положили начало теоретич. разработке А. в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций,измерения величин и - в неявной форме- также и теории иррациональных чисел. В "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) имеются сохранившие своё значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (см. Евклида алгоритм), доказательство несуществования рационального числа, квадрат к-рого равен 2 (иррациональность числа 2^1/2 ), и изложенная в геом. форме теория пропорций. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (Евклид), о пифагоровых числах, а также - уже в более позднюю эпоху - алгоритм для выделения простых чисел (Эратосфена решето) и решение ряда неопределённых ур-ний 2-й и более высоких степеней (Диофант).

Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл "Псаммит" Архимеда (3 в. до н. э.), в к-ром доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Соч. Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин: извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, напр.

Римляне не продвинули вперёд технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел.

Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, более древних, культур; однако чрезвычайно важные этапы в развитии А. связываются с культурой Индии, оказавшей влияние как на страны Передней Азии и Европы, так и на страны Вост. Азии (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметич. содержания, наиболее существенная заслуга индийцев - введение позиционной системы счисления (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметич. действий.

Учёные средневекового Востока не только сохранили в переводах наследие др.-греч. математиков, но и содействовали распространению и дальнейшему развитию достижений индийцев. Методы выполнения арифметич. действий, в значит. части ещё далёкие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с 10 в. н. э. стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию.

Сравнительно медленный прогресс А. в ср. века сменяется к нач. 17 в. быстрым усовершенствованием приёмов вычисления в связи с возросшими практич. запросами к технике вычислений (задачи мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчёты и т. п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся ещё индийцами (при извлечении квадратных корней) и неоднократно обращавшие на себя внимание и европ. учёных, применялись сначала в неявной форме в тригонометрич. таблицах (в форме целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т. д. при радиусе, принятом за 10⁵). Впервые (1427) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в соч. С. Стевина в 1585 и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в нач. 17 в. Дж. Непером. В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают совр. форму.

В России до нач. 17 в. применялась нумерация, сходная с греческой; хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации, доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметич. руководств нач. 18 в. наибольшее значение имела высоко оценённая М. В. Ломоносовым "Арифметика" Л. Ф. Магницкого (1703). В ней содержится следующее определение А.: "Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее, и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное, и изложенное ". Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в т. ч. и десятичными) и соответствующими задачами в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практич. сведений, относящихся к коммерческим расчётам и задачам навигации. Изложение А. приобретает уже более или менее современный вид у Л. Эйлера и его учеников.

Теоретические вопросы арифметики. Теоретическая разработка вопросов, касающихся учения о числе и учения об измерении величин, не может быть оторвана от развития математики в целом: решающие этапы её связаны с моментами, определявшими в равной мере и развитие алгебры, геометрии и анализа. Наиболее важным надо считать создание общего учения о величинах, соответствующего абстрактного учения о числе (целом, рациональном и иррациональном) и буквенного аппарата алгебры.

Фундаментальное значение А. как науки, достаточной для изучения непрерывных величин различного рода, было осознано лишь к концу 17 в. в связи со включением в А. понятия иррационального числа, определяемого последовательностью рациональных приближений. Немаловажную роль при этом сыграли аппарат десятичных дробей и применение логарифмов, расширивших область осуществляемых с требуемой точностью операций над действит. числами (иррациональными наравне с рациональными).

И. Ньютон, впервые высказавший общее определение числа как отношения двух значений к.-л. величины, всё ещё избегал, однако, записывать найденные им законы в виде формул, выражающих значение одной из величин через значения других, неоднородных с ней, и предпочитал придавать такого рода соотношениям форму пропорций (напр., y₁/у₂ =  x²/x² вместо соответствующей формулы у = kx²). Современная точка зрения,согласно к-рой все буквы в формулах означают просто числа и действия производятся над числами, равноправными между собой, независимо от их конкретного происхождения, ещё и сейчас в элементарном преподавании иногда осознаётся не в достаточной степени (это сказывается в наименованиях при записи действий, в избыточной осторожности при определении производных физ. величин и т. п.).

Аксиоматическое построение арифметики. Начало следующего этапа - аксио-матич. построение А.- относится уже к 19 в. и связано с общим процессом кри-тич. пересмотра логич. основ математики, в к-ром важнейшую роль сыграли, в частности, работы Н. И. Лобачевского по геометрии. Самая простота и очевидная бесспорность начальных положений А. затрудняли выделение основных положений - аксиом и определений, к-рые могли бы служить исходным пунктом построения теории. Первые намёки на возможность такого построения имеются уже в доказательстве соотношения 2*2 = 4, данном Г. Лейбницем (см. ниже).

Лишь в сер. 19 в. Г. Грасману удалось выбрать систему основных аксиом, определяющих действия сложения и умножения так, чтобы остальные положения А. вытекали из неё как логич. следствие. Если иметь в виду натуральный ряд чисел, начиная от I, и определить 2 как 1 + 1, 3 как 2 + 1, 4 как 3+1 и т. д., то одного общего положения а + (b+1) = = (а + b) + 1, принимаемого в качестве аксиомы или определения сложения, оказывается достаточно для того, чтобы не только вывести формулы частного типа, как, напр., 3+2 = 5, но, пользуясь методом математической индукции, доказать и общие свойства сложения, верные для любых натуральных чисел, - переместительный и сочетательный законы. Подобную же роль для умножения играют формулы а*1 = а и а (b + 1) = = ab + а. Так, упомянутое выше доказательство соотношения 2*2 = 4 можно представить в виде цепочки равенств, вытекающей из приведённых здесь формул и определения чисел 2, 3 и 4, именно: 2* 2 = 2 (1+1) =2* 1 + 2*1=2+2 = = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1= 3 + 1= 4.

После доказательства переместительно-го (см. Коммутативность), сочетательного (см. Ассоциативность) и распределительного (см. Дистрибутивность) (по отношению к сложению) законов действия умножения дальнейшее построение теории арифметич. действий над натуральными числами не представляет уже принципиальных затруднений. Если оставаться на том же уровне абстракции, то дробные числа приходится вводить как пары целых чисел (числитель и знаменатель), подчинённые определённым законам сравнения и действии (см. Дробь),

Построение Грасмана было завершено в дальнейшем работами Дж. Пеано, в к-рых отчётливо выделена система основных (не определяемых через другие понятия) понятий, именно: понятие натурального числа, понятие следования одного числа непосредственно за другим в натуральном ряде и понятие начального члена натурального ряда (за к-рый можно принять О или 1). Эти понятия связаны между собой пятью аксиомами, к-рые можно рассматривать как аксиоматич. определение указанных основных понятий.

Аксиомы Пеано: 1)1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с, то b и с тождественны; 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа я, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел. Эта аксиома - аксиома полной индукции - даёт возможность в дальнейшем пользоваться грас-мановскими определениями действий и доказывать общие свойства натуральных чисел.

Эти построения, дающие решение задачи обоснования формальных положений А., оставляют в стороне вопрос о логич. структуре А. натуральных чисел в более широком смысле слова, с включением тех операций, к-рые определяют собой приложения А. как в рамках самой математики, так и в „практич. жизни. Анализ этой стороны вопроса, выяснив содержание понятия количественного числа, вместе с тем показал, что вопрос об обосновании А. тесно связан с более общими принципиальными проблемами мето-дологич. анализа матем. дисциплин. Если простейшие предложения А., относящиеся к элементарному счёту объектов и являющиеся обобщением многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие логич. схемы, то А. как матем. дисциплина, изучающая бесконечную совокупность натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из неё общих предложений.

Лит.: Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., З изд., т. 1.М. -Л., 1935; Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939; Беллюстин В. К., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940; Гребенча М. К., Арифметика, 2 изд., М., 1952; Берман Г. Н., Число и наука о нем, 3 изд., М., 1960; Депман И. Я., История арифметики, 2 изд., М., 1965; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в Древнем мире, 2 изд., М., 1967. И. В. Арнольд.

последовательность чисел (а₁, а₂, ..., а_n ), из к-рых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d, наз. разностью А. п. (напр., 2, 5, 8, 11, ... ; d = 3). Если d>0, то А. п. наз. возрастающей, если d<0,- убывающей. Общий член А. п. выражается формулой а_n = а₁ + d (n - 1); сумма первых n членов S_n=1/2(a₁ + a_n)n.