ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ определённых интегралов, раздел вычислит. математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов.

Пусть y = f(x) - непрерывная функция на отрезке [а, b] и интеграл

Если для функции f(x) известны значения первообразной F(x) при х = а и х = b, то по формуле Ньютона - Лейбница

В противном случае приходится искать др. пути вычисления I(f). Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I (f) в виде линейной функции нек-poro числа значений функции f (x) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x), называют выражение вида

в к-ром точки X_k, k= 1, 2,..., п, х_k ПРИНАДЛЕЖИТ [а,b], наз. узлами, а коэффициенты А_k, -весами.

Для каждой непрерывной функции f(x) значение I(f) может быть вычислено с помощью сумм S_n(f) с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом Q, к к-рому относят конкретную функцию f(x), способом задания функции и имеющимися вычислит. средствами. Погрешностью квадратурной формулы наз. разность

Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f(x) параметров: п, x_k, A_k (k = 1, 2, . . ., п), к-рые выбирают так, чтобы при f ПРИНАДЛЕЖИТ Q погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f ПРИНАДЛЕЖИТ Q характеризует величина r_n (Q) - точная верхняя грань |R_n(f)| на множестве Q:

Квадратурная формула, для к-рой W_n(Q) = r_n (Q), наз. оптимальной на классе Q. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано неск. методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть (w_q(x), q = 0,1,...,- полная система функций в классе Q, и любая f(x) ПРИНАДЛЕЖИТ Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций <w_q(x). Пусть I(w_q), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого п параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

для возможно большего значения т. В методе Ньютона - Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы х_K, а определению подлежат веса A_k. В методе Чебышева на веса А заранее накладываются нек-рые связи [напр., Ak = (b - а)/п], а определению подлежат узлы х_к. В методе Гаусса определяются и веса A_k и узлы x_k. В методе Маркова j узлов (}<п) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций w_q(х).

Формулы Ньютона - Котеса строятся на основе системы функций w_q = х^q, q = 0, 1, ...; узлы x_k разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула, трапеций формула и Симпсона формула.

Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b] достаточно знать их для отрезка [-1, 1].

В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:

и для вычисления интегралов по отрезкам [a_i <a_i+1] применяются элементарные квадратурные формулы.

В формулах Гаусса т = 2п - 1, а при а = -1, b = 1 узлы Xk являются корнями Лежандра многочленаР_n(х)степени n, а

Квадратурная формула Чебышева существует при Ak = l/n, I = b - а и х_k ПРИНАДЛЕЖИТ[a,b] лишь для п = 1, ..., 7, 9; в ней т = п - 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f(x) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.

При вычислении интегралов от функций с периодом l наиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:

Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида

где р(х) - фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех f ПРИНАДЛЕЖИТQ функции f(x) хорошо приближалась линейными комбинациями функций <w_q(x).

Для приближённого вычисления неопределённых интегралов их представляют как определённые интегралы с переменным верхним пределом и далее применяют указанные выше формулы.

Таблицы узлов и весов, а также оценки погрешности квадратурных формул приводятся в спец. справочниках.

Квадратурные формулы вычисления кратных интегралов иногда наз. кубатурными формулами. Кратные интегралы можно вычислять как повторные интегралы, применяя описанные квадратурные формулы. Т. к. при увеличении кратности существенно возрастает количество узлов, то для вычисления кратных интегралов разработан ряд спец. формул.

Вычисление интегралов на ЭВМ обычно осуществляется с помощью стандартных программ. В случае однократных интегралов наиболее употребительны стандартные программы с автоматич. выбором шага.

Лит.: Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Никольский С. М., Квадратурные формулы, М., 1958; Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычисления, 3 изд., ч. 1, М., 1966; Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; Коробов Н. М., Теорети-кочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963. В.И.Лебедев.